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Introducción al mecanismo de Higgs

2012-07-07

Como estos días se habla mucho del bosón de Higgs pero las explicaciones suelen ser muy superficiales, vamos a ver un modelo elemental para hacernos una idea de cómo funciona el mecanismo de Higgs que proporciona masa a las partículas sin entrar en las engorrosas complicaciones del modelo estándar de la física de partículas. Este artículo no pretende ser muy riguroso, pero sí indicar al incauto lector sin formación en teoría cuántica de campos pero con una mínima destreza algebraica por dónde van los tiros cuando se habla del Higgs y del origen de la masa.

El contexto del mecanismo de Higgs

El modelo estándar de la física de partículas describe con pasmosa precisión el comportamiento íntimo de la materia. En este modelo, las partículas no siempre tienen masa, sino que la adquieren a energías suficientemente bajas; por encima de estas energías, las cosas son invariables frente a cambios de ciertas propiedades (se dan ciertas simetrías) y no hay masa, mientras que las simetrías se rompen a energías bajas y aparece la masa. La masa, por lo tanto, no es algo tallado en piedra en el cuerpo de la teoría, sino que es emerge en determinadas condiciones. En el modelo estándar hay un campo, el campo de Higgs, que interactúa con otras partículas y estas interacciones hacen que las partículas se comporten como si tuvieran masa (o tengan, de hecho, masa). De este proceso también sale el famoso bosón de Higgs.

Información preliminar: qué aspecto tiene lo que buscamos

Los físicos de partículas manipulan objetos matemáticos de los que obtienen resultados de todo tipo. Un objeto que se usa mucho es la densidad de lagrangiano. Digamos que tenemos un universo permeado por un campo escalar libre (al que llamaremos φ) dotado de masa (a la que llamaremos m); uno de los modelos más sencillos tendría la siguiente densidad de lagrangiano:

(1 ⁄ 2) [(∂φ)2m2φ2].

El primer sumando contiene un operador diferencial (, el gradiente en el espacio-tiempo) que tiene como resultado un vector y el cuadrado implica el producto escalar de este vector sobre sí mismo. El segundo sumando es el término másico. Si en la densidad de lagrangiano de un campo aparece el cuadrado de éste multiplicado por una constante, este término es el término másico y la constante es la masa.

El modelo simplificado

Vamos a ver un modelo elemental que, pese a su sencillez, captura la esencia del mecanismo de Higgs. Este modelo es el de un campo de Higgs escalar complejo φ con un campo gauge abeliano vectorial A como el potencial electromagnético. Cogemos un campo gauge de este tipo para evitar complicaciones, pero el modelo, con todo lo didáctico que queda, tiene el defecto de dar fotones masivos. En este modelo, en principio, parece que no hay partículas con masa; con una notación cargada de abuso, la densidad de lagrangiano queda así de libre de términos másicos:

−(1 ⁄ 4) [(dA)2 + |[∂−iqA]φ|2 − λ[|φ|2−(1 ⁄ 2)v2]2.

En efecto, no aparece nada como el m2φ de hace unos párrafos. El símbolo dA, la derivada exterior del potencial tetravector A, es el tensor de campo gauge; el cuadrado indica el producto escalar del tensor sobre sí mismo; si sólo estuviera este término, tendríamos radiación libre propagándose por el espacio. El segundo sumando es como el que vimos más arriba con el operador diferencial, pero ahora se le añade un término de interacción con el campo gauge A debido a que el campo de Higgs tiene una carga q; un término como éste da en la electrodinámica cómo el campo electromagnético actúa sobre los electrones y cómo los electrones generan ondas electromagnéticas. El último sumando, que tiene dos parámetros constantes λ y v reales y positivos, es muy interesante; es una energía potencial del propio campo de Higgs φ según el valor que adquiere en cada punto del espacio-tiempo; esta energía potencial, a la que llamaremos V(φ), tiene una gráfica muy característica:

Función sombrero mexicano.
Gráfica de la energía potencial sombrero mexicano.

Es la función sombrero mexicano. Es una delicia: se llama así, «sombrero», en la literatura escrita en otros idiomas. Esta energía potencial tiene simetría de rotación y adopta un valor mínimo cuando se cumple la condición
|φ| = v ⁄ √2.
En el vacío, cuando la energía es mínima, el campo de Higgs no se anula, sino que toma este valor que minimiza la energía potencial. El vacío queda expresado mediante la exponencial compleja
(v ⁄ √2) eiqθ
donde θ es un número real, la fase.

Cuando la energía no es demasiado alta, merece la pena escribir el campo de Higgs como una perturbación del vacío:

φ = [(v+ρ) ⁄ √2] eiqθ.

Mientras que v es una constante, tanto la perturbación del módulo ρ como la fase θ dependen de la posición del espacio. Con estas nuevas variables, la densidad de lagrangiano queda así:

−(1 ⁄ 4) [dA]2
+ |iq[(v+ρ) ⁄ √2]eiqθθ + eiqθρ ⁄ √2 − iqA[(v+ρ) ⁄ √2]eiqθ|2
− [λ ⁄ 4] [v2ρ2 + ρ4].

El campo θ tiene muchas ganas de ser algo sin masa conocido como bosón de Goldstone y acaparar toda la atención, pero no vamos a permitírselo. Ahora vamos a introducir el campo potencial transformado
W ≡ A − ∂θ.
Esta transformación es una transformación deja invariante el tensor de campo gauge (el tensor de campo gauge es la derivada exterior del potencial gauge y la derivada exterior de un gradiente, que es lo que se añade, es nula):
dW = dA + d[∂θ] = dA.
Con este cambio, la densidad de lagrangiano adopta formas familiares:

{−(1 ⁄ 4)[dW]2 + (1 ⁄ 2)[q2v2W2]}
+ {(1 ⁄ 2)[∂ρ]2−(1 ⁄ 2)[2λv2ρ2]}
+ {(1 ⁄ 2)q2W2ρ2 + q2W2vρ − (λ ⁄ 4)ρ4}.

Las primeras llaves contienen la densidad de lagrangiano de un campo gauge libre, las segundas llaves contienen la densidad de lagrangiano de una partícula libre (el bosón de Higgs de esta teoría) y las últimas llaves contienen los términos de interacción. Vemos la similitud con el primer modelo que vimos de un campo masivo: tanto el campo gauge como el bosón de Higgs son masivos; el primero tiene una masa igual a q2v2 y el segundo tiene una masa igual a 2λv2.

El proceso de cambio de variable por el que metemos el candidato a Goldstone en una redefinición del campo gauge y obtenemos términos másicos es el mecanismo de Higgs.

Un momento, ¡sólo te has dedicado a cambiar de variable!

Nos surgen partículas nuevas y masas nuevas que no son más que cambios de variable, pero estos cambios de variables están escogidos para representar cómodamente la realidad. Este proceso es habitual en muchas disciplinas: podemos describir las acciones aerodinámicas en términos de campos de velocidad, de presión o de torbellinos en función de nuestras necesidades; podemos describir el sonido como ondas viajeras a las que seguimos, como una superposición de ondas estacionarias o directamente de la evolución del campo de velocidades y presiones del aire… En un modelo matemático de la comida, escribir las ecuaciones en términos del huevo líquido (con una propiedad especial, el tamaño de la yema) estaría bien cuando quisiéramos separar las yemas para hacer repostería, mientras que tendríamos que cambiar de variable y escribir las ecuaciones en términos de tortillas (que no tienen la propiedad del tamaño de la yema) cuando quisiéramos preparar un bocata.

Hacia el modelo estándar

El modelo estándar de la física de partículas es una versión sofisticada de lo que hemos visto. El campo de Higgs interactúa de forma muy parecida a la que hemos visto con los portadores de la fuerza débil W y Z, mientras que no lo hace con el campo electromagnético. La interacción con los leptones y los quarks es algo diferente.


Categorías: Física, Matemáticas

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