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Transferencia de calor por radiación (4): deducción de la ley de Stefan-Boltzmann

2014-08-27

Vamos a deducir la ley de Stefan-Boltzmann para la transferencia de calor por radiación. Haremos uso de meras relaciones termodinámicas macroscópicas en combinación con un modelo adecuado sobre el comportamiento de un cuerpo negro. Esta prueba es esencialmente la que dio Boltzmann en su día.

Funcionamiento de un cuerpo negro

Un cuerpo negro es un objeto que absorbe perfectamente la radiación electromagnética, pero que también emite radiación por efectos térmicos. Un cuerpo negro se encuentra en equilibrio termodinámico con su propia radiación, que viaja por el interior del cuerpo en todas direcciones por igual (es decir, es isótropa). Cada partícula en el seno del cuerpo emite radiación que es absorbida por las partículas vecinas. Las partículas que están en la superficie emiten radiación que va hacia el interior del cuerpo, pero también hacia el exterior; esta última radiación escapa y lleva consigo energía procedente del cuerpo.

Deducción de la ley de Stefan-Boltzmann

Cuando un sistema termodinámico evoluciona de un estado de equilibrio a otro, puede experimentar un cambio en su energía interna U y en su entropía S. Si el sistema es un sistema simple compresible (como la radiación del interior de un cuerpo negro, que puede modificar su volumen si el cuerpo negro experimenta cambios), puede variar el volumen V. La variación de la energía interna de la radiación del interior del cuerpo negro está relacionada con la variación de la entropía y la variación del volumen mediante la siguiente ecuación:

dU = T dS − p dV.

El símbolo T está asociado a la temperatura y el símbolo p está asociado a la presión.

La energía interna de la radiación es una propiedad extensiva: es el producto de la densidad de energía u y el volumen V. Por lo tanto, si dividimos la ecuación de la energía por el volumen, tenemos una relación para la densidad de energía:

(∂⁄∂V)U = u = T (∂⁄∂V)S − p.

Por otra parte, como la radiación en el interior del cuerpo negro es isótropa, sabemos que la densidad de energía es igual al triple de la presión:

u = 3p.

La entropía S estorba. Hay unas relaciones termodinámicas, las relaciones de Maxwell, que nos permiten relacionar su derivada parcial con otra de la presión p:

(∂⁄∂VS = (∂⁄∂T)p.

Con esto, la ley de la energía queda expresada en términos de la presión y la temperatura:

3p = T (∂⁄∂T)p − p.

Esta ecuación diferencial admite la solución

p ∝ T⁴.

Por lo tanto, la intensidad I de la radiación, que es proporcional a la presión de la radiación, también es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura:

I ∝ T⁴.

El flujo de la radiación que atraviesa una superficie cerrada es igual a la potencia neta emitida por los calientes contenidos en tal superficie. Esto significa que la intensidad de radiación emitida por un cuerpo negro y la potencia total radiada por tal cuerpo negro son proporcionales. Por lo tanto, la potencia que emite un cuerpo negro es proporcional a su temperatura elevada a cuatro: lo que dice la ley de Stefan-Boltzmann. Como la radiación solamente escapa a través de la superficie del cuerpo, la potencia radiada es proporcional a esta superficie.

Categorías: Física

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