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Sucesiones geométricas y piezas intercambiables

2014-10-13

No son pocos los artefactos tecnológicos que están formados por numeros componentes intercambiables que, por motivos de costes y de facilidad de reparación y recambio, no están hechos a medida para el artefacto en cuestión, sino que son productos industriales que vienen con tamaños, formas o valores que están normalizados de alguna manera, que están en un surtido discreto y finito. Por ejemplo, los tornillos de rosca métrica vienen en un conjunto de diámetros: 1 mm, 1,2 mm, 1,6 mm, 2 mm, 2,5 mm

Al diseñar una máquina, puede suceder que el valor óptimo de alguna dimensión no se encuentre entre los valores que tienen las piezas disponibles en el mercado. Por ejemplo, podemos encontrarnos con que nos convendría un tornillo de 2,9 mm de diámetro, pero los valores más cercanos a la venta son 2,5 mm y 3 mm. Los fabricantes ofrecen surtidos de valores y hay que trabajar con ellos. A menudo, el valor más próximo del surtido es aceptable.

También es posible que no estemos diseñando una máquina, sino las piezas (como los tornillos) que sirven para hacer una máquina. Nos interesa ofrecer un surtido de valores amplio para satisfacer las necesidades del público, pero es técnicamente inviable ofrecer infinitos valores, así que hay que conformarse con un conjunto discreto y finito. Es necesario elegir qué valores forman el surtido (¿quizá vamos a hacer bloques de construcción de 10 cm, 20 cm y 30 cm?).

Al trabajar con un conjunto discreto de valores posibles, los valores intermedios no son alcanzables, pero pueden quedar bien aproximados. Si vamos a elegir un surtido de valores, a lo mejor nos interesa minimizar el error relativo que puede haber entre cualquier valor posible y los valores ofrecidos. La forma de hacerlo es fijar un error relativo y formar una sucesión geométrica. En efecto, si tenemos una sucesión de valores ofrecidos {x0, x1, x2…} y una sucesión de valores intermedios {y1, y2…} para los que el error relativo de ir a cualquiera de los siguientes valores sería máximo, nos queda la siguiente relación cuando fijamos como error relativo el valor e para el elemento n-ésimo general:

e = 1 − yn ⁄ xn−1 = yn ⁄ xn.

Esta ecuación tiene como solución para el elemento n-ésimo de la sucesión que empieza en x0 lo siguiente:

xn = x0 ⋅ [(1+e) ⁄ (1−e)]nx0 (1+2e)n.

La última aproximación es adecuada para errores relativos e pequeños. Por su parte, el valor intermedio n-ésimo para el que el error relativo sería el máximo especificado, es el siguiente:

yn = (xn−1+xn) ⁄ 2.

Esto significa que el error relativo es máximo justo en el punto intermedio de dos de los valores fijos del surtido. Si queremos minimizar el error relativo, nos basta con coger el valor discreto más próximo.

Hay varios conjuntos de valores normalizados que se basan en sucesiones geométricas. Por ejemplo, las resistencias eléctricas vienen así.

Al fijar el error relativo máximo con la elección de los valores según una sucesión geométrica, también podemos fijar la tolerancia de los propios valores, lo que permite mantener los costes bajo control. Si usamos una sucesión de valores con error relativo máximo e, es razonable plantearnos hacer piezas con ese mismo valor de tolerancia relativa, tal que el valor de una pieza real puede desplazarse hasta e veces su valor nominal. Esto es normalmente mucho menos costoso que tratar de aproximar el valor nominal con más precisión y esta reducción de costes se traslada a quien hace una máquina con nuestras piezas. El diseño de la máquina, por supuesto, ha de tener en cuenta esta tolerancia y, si su diseño óptimo sin restricciones pide cierto valor no incluido en el surtido, en el caso más desfavorable tendría que esperar una desviación relativa de 2e. Por ejemplo, el diseñador de un equipo de música puede necesitar óptimamente una resistencia de 1,05 kΩ, pero si escoge el típico resistor de 1 kΩ del 5 %, podría encontrarse en el peor de los casos con una resistencia real de poco más de 950 Ω y la desviación frente al valor óptimo se aproximaría peligrosamente al 10 %; si esto fuera un problema, podría elegir resistores con una tolerancia más baja, que pueden ser algo más caros.

En la práctica, los valores nominales suelen ir redondeados, así que no suelen coincidir con los valores exactos de las sucesiones geométricas.


Categorías: Miscelánea

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2014/10/13/sucesiones-geometricas-y-piezas-intercambiables/