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El juego de las cifras restadas

2009-07-05

Cuando era pequeño, se me ocurrió el siguiente juego:

1. Piénsese en un número natural de dos o más cifras.
2. Réstesele a este número la suma de sus cifras en base 10.
3. Si el resultado sigue teniendo dos o más cifras, repítase el segundo paso usando el resultado y sus cifras en el lugar del número original.
4. Si el resultado tiene una cifra, entonces es el número 9.

A modo de ejemplo, podemos escoger el número 38. La suma de sus cifras es 11, y la diferencia de 38 y 11 es 27. Este número tiene dos cifras, de modo que hay que repetir el procedimiento: la diferencia de 27 y la suma de sus cifras, 9, es 18. Este número vuelve a tener dos cifras, así que se repite por última vez el procedimiento: la diferencia de 18 y la suma de sus cifras, 9, es 9, el número que tenía que resultar finalmente.

En general, puede decirse que la diferencia de cualquier número natural y la suma de sus cifras en base 10 es un múltiplo entero de 9, siendo el resultado no nulo cuando el número de cifras es mayor que 1. De hecho, la diferencia de cualquier número natural y la suma de sus cifras en una determinada base n es un múltiplo entero de n - 1, siendo el resultado no nulo cuando el número de cifras es mayor que 1.

Dado lo simple de este juego, lo más probable es que innumerables personas lo habrán desarrollado a lo largo de la historia. Si resulta que el resultado lleva el nombre de algún matemático clásico que lo descubrió durante su infancia, os animo a decírmelo para que así quede registrado en este artículo.

Propongo a quienes tengan las matemáticas un poquito oxidadas que intenten demostrar por qué funciona este juego. Es un ejercicio muy fácil que servirá para recuperar la buena forma mental. Aquí está, para quien desee contrastar su resultado con el de otra persona, la demostración (PDF, 45,9 kB).

Categorías: Matemáticas

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