Junio de 2016
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El mal sabor de boca de las galas benéficas
2016-06-30
Las galas benéficas (y otros eventos artísticos similares, tales como los conciertos benéficos) pueden ser eficaces a la hora de recaudar fondos para una buena causa. Esto las hace muy interesantes, pero hay ciertos aspectos que no son del todo satisfactorios.
Ante cualquier gala benéfica, cabe preguntarse si sería posible y más eficiente recaudar los fondos buscados directamente, sin la indirección y los costes que suponen organizar el evento. Si resulta que el público necesita que lo entretengan con un espectáculo para que esté dispuesto a colaborar con una buena causa, que compensen el esfuerzo que le supone hacer el bien, entonces la bondad de este público queda en entredicho.
Dado que los artistas participantes en la gala pueden obtener un beneficio aunque sea indirecto, a veces puede cuestionarse la verdadera finalidad del acto aunque se haga bien destinado al fin oficial.
Por supuesto, publicitar una campaña de recaudación de fondos tiene un coste para las organizaciones benéficas y una gala organizada por artistas independientes puede ser más barata, pero esto quizá lo que nos dice es que la situación de la publicidad de los actos benéficos es mejorable.
De una manera u otra, a pesar del bien que se hace, el sabor de boca que queda no es del todo agradable. Ahora bien, las imperfecciones que tiene el concepto son insignificantes comparadas con las de la alternativa habitual que es la mera inacción. Está claro que un acto benéfico bien organizado puede ser muy beneficioso.
Categorías: Miscelánea
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Tensiones o esfuerzos mecánicos (19)
2016-06-29
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Ayer vimos cómo cambiar de ejes de coordenadas en los estados de tensión plana. Hoy vamos a plantear la misma cuestión de una forma alternativa.
Cambio de ejes cartesianos en tensión plana
Vamos a usar la misma notación y los mismos conceptos que usamos ayer.
Imaginemos un medio en un estado de tensión plana. Elijamos un punto de dicho medio. Con origen en este punto definimos dos sistemas de ejes coordenados cartesianos: los ejes originales x e y por una parte y los ejes rotados x' e y' por otra parte. El eje x' es como el eje x rotado un ángulo θ en sentido antihorario y el eje y' es como el eje y rotado un ángulo θ en sentido antihorario. En el entorno del punto, tomemos un triángulo rectángulo infinitesimal tal que sus dos catetos están alineados con los ejes coordenados x e y. La hipotenusa es perpendicular al eje x' (o paralela al eje y'). El triángulo está sometido a una tensión uniforme. La siguiente figura ilustra la situación:
Geometría y tensiones.
Para que el triángulo esté en equilibrio, tienen que cumplirse las siguientes condiciones:
σxx cos(θ) − σxy sin(θ) = σ'x'x' cos(θ) − σ'x'y' sin(θ);
σyy sin(θ) + σxy cos(θ) = σ'x'x' sin(θ) + σ'x'y' cos(θ).
Estas dos ecuaciones son suficientes para determinar la tensión directa σ'x'x' y la tensión cortante σ'x'y' en los ejes rotados:
σ'x'x' = {[1+cos(2θ)] ⁄ 2} σxx + {[1−cos(2θ)] ⁄ 2} σyy + sin(2θ) σxy;
σ'x'y' = [sin(2θ) ⁄ 2] (σyy−σxx) + cos(2θ) σxy.
La tensión directa restante, σ'y'y', es fácil de calcular: como el eje y' es como el eje x' rotado un ángulo recto, basta tomar el resultado de σ'x'x' y sustituir el ángulo θ con θ+π ⁄ 2:
σ'y'y' = {[1−cos(2θ)] ⁄ 2} σxx + {[1+cos(2θ)] ⁄ 2} σyy − sin(2θ) σxy.
Estos resultados son precisamente los que dedujimos ayer.
Categorías: Física
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Tensiones o esfuerzos mecánicos (18)
2016-06-28
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Hoy vamos a ver cómo cambiar de ejes de coordenadas en los estados de tensión plana.
Cambio de ejes cartesianos en tensión plana
En un estado de tensión plana, el tensor de tensiones solamente tiene tres grados de libertad en general. El vector tensión está contenido en un plano. En un sistema de ejes cartesianos x, y contenido en dicho plano, la tensión tiene solamente la siguientes componentes no nulas en general: {σxx, σyy, σxy} (la componente σyx es idéntica a la σxy debido a que el tensor de tensiones es simétrico).
Definamos ahora un segundo sistema de ejes x', y' también en el plano de tensión plana. Estos ejes forman un ángulo θ con los originales:
x' ≡ cos(θ) x + sin(θ) y;
y' ≡ −sin(θ) x + cos(θ) y.
Sistemas de ejes.
Sabemos cómo pasar las componentes del tensor de tensiones de un sistema de ejes a otro. De forma explícita, el cambio entre estos ejes es así:
σ'x'x' = {[1+cos(2θ)] ⁄ 2} σxx + {[(1−cos(2θ)] ⁄ 2} σyy + sin(2θ) σxy;
σ'y'y' = {[1−cos(2θ)] ⁄ 2} σxx + {[(1+cos(2θ)] ⁄ 2} σyy − sin(2θ) σxy;
σ'x'y' = [sin(2θ) ⁄ 2] (σyy−σxx) + cos(2θ) σxy.
Se trata de unas expresiones sencillas y convenientes de tener a mano.
Categorías: Física
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Resultados del Congreso de los Diputados en las elecciones generales de España de 2016
2016-06-27
Ayer se celebraron las elecciones generales en España. Como es natural, abundan los análisis de los resultados, en especial de los que se refieren al reparto de votos y escaños en el Congreso de los Diputados. En las informaciones sobre los votos, suele hablarse de proporciones frente al total de los votos emitidos y no frente al total del censo, pero tal información no cuenta toda la historia (aunque sí cuenta una parte muy importante de la misma). En efecto, hay que recordar que el voto en España sirve para respaldar una opción política, no para rechazar otra; por lo tanto, si buscamos informar sobre la aprobación mostrada por los votantes a las distintas opciones, no está de más hablar del censo electoral completo. Los abstencionistas, al no votar, no ofrecen información sobre sus auténticas preferencias y, en concreto, no dan su aprobación explícita a una opción u otra, que es de lo que trata el voto. Veamos, pues, cómo quedaron los resultados de las candidaturas que obtuvieron escaños (pues los votantes de otras candidaturas carecen de representación):
| Opción | Respaldo frente a los votos emitidos (24161083) | Respaldo frente al total del censo electoral (34597038 personas) | Escaños frente al total (350) |
|---|---|---|---|
| PP | 33 % | 23 % | 39 % |
| PSOE | 22 % | 16 % | 24 % |
| PODEMOS-IU-EQUO | 13 % | 9,3 % | 13 % |
| C's | 13 % | 9,0 % | 9,1 % |
| ECP | 3,5 % | 2,5 % | 3,4 % |
| PODEMOS-COMPROMÍS-EUPV | 2,7 % | 1,9 % | 2,6 % |
| ERC-CATSÍ | 2,6 % | 1,8 % | 2,6 % |
| CDC | 2,0 % | 1,4 % | 2,3 % |
| PODEMOS-EN MAREA-ANOVA-EU | 1,4 % | 0,99 % | 1,4 % |
| EAJ-PNV | 1,2 % | 0.83 % | 1,4 % |
| EH Bildu | 0,76 % | 0,53 % | 0,57 % |
| CCa-PNC | 0,32 % | 0,23 % | 0,29 % |
Por su parte, la abstención fue, como es habitual, la opción más popular: 10435955 de las 34597038 personas convocadas a votar no votaron: unas 3 de cada 10. Además de esto, hubo 225888 votos nulos (un 0,65 % del censo) y 178521 votos en blanco (un 0,52 % del censo).
De las 24161083 personas que votaron, 997166 (el 4,1 % del censo) no tienen representación.
Por mucho que guste esta retórica, las elecciones no van de ganadores y perdedores, sino de buscar una representación razonablemente fidedigna de la voluntad del pueblo. Quizá la abstención dificulta la tarea, pero no se puede fingir que no existe, que la falta de apoyo (o la falta de expresión de dicho apoyo) no existe.
Categorías: Actualidad
El borrador de las directrices europeas sobre la implementación de la neutralidad de la red está abierto a consulta pública
2016-06-26
El BEREC (Body of European Regulators of Electronic Communications) publicó a principios de junio un borrador sobre las directrices sobre la aplicación de la regulación de la neutralidad de la red. Este borrador está en consulta pública hasta el 18 de julio, abierto a contribuciones. En general, el borrador parece que hace un trabajo bastante respetuoso con los derechos de los ciudadanos en lo que se refiere a la aplicación del reglamento, pero el tema cubierto tiene complejidad suficiente para que merezca la pena leer con mucho detenimiento el texto.
Categorías: Actualidad, Derechos
Tensiones o esfuerzos mecánicos (17)
2016-06-25
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Hasta ahora, habíamos descrito conceptos aplicables a estados tensionales generales. Hoy vamos a introducir un tipo de estado de tensión muy importante en la práctica: el estado de tensión plana.
Tensión plana
Como ya vimos, las tensiones en el seno de un medio físico están caracterizadas por un tensor de segundo orden. Este tensor es simétrico, así que en el espacio tridimensional queda descrito mediante 6 componentes independientes. La cantidad de información es lo bastante elevada como para que sea conveniente emplear diferentes técnicas gráficas para representar y calcular las propiedades de las tensiones, tales como el elipsoide de Lamé, los círculos de Mohr, la cuádrica indicatriz de tensiones y la cuádrica directriz de tensiones. En algunas situaciones, no obstante, es posible simplificar el tratamiento. Tal es el caso de la tensión plana: cuando las componentes {σxx, σxy, …} del tensor tensión están contenidas en un plano. Si dicho plano es el indicado por los ejes x,y, tal que el eje z es perpendicular al plano, entonces en un estado de tensión plana se cumple la siguiente condición:
σxz = σyz = σzz = 0.
Las demás componentes pueden ser, en general, no nulas.
Otra forma de definir el estado de tensión plana es la siguiente: el vector tensión medido en la dirección perpendicular al plano es nulo. Recordemos el vector tensión t medido en una dirección n cuando el tensor tensión es σ se calcula de la siguiente manera:
t = n ⋅ σ.
En componentes y cuando la dirección de medida es
nx = ny = 0, nz = 1,
el vector tensión queda así:
0 = tx = 0 ⋅ σxx + 0 ⋅ σxy + 1 ⋅ σxz;
0 = ty = 0 ⋅ σxy + 0 ⋅ σyy + 1 ⋅ σyz;
0 = tz = 0 ⋅ σxz + 0 ⋅ σyz + 1 ⋅ σzz.
Estas ecuaciones permiten pasar de una definición de tensión plana a la otra.
El vector tensión siempre está contenido en el plano de tensión plana
Tensión plana. Para cualquier dirección normal de medida, el
vector tensión está contenido en el mismo plano.
Para una dirección de medida genérica, el vector tensión tiene las componentes siguientes:
tx = nx ⋅ σxx + ny ⋅ σxy + nz ⋅ 0;
ty = nx ⋅ σxy + ny ⋅ σyy + nz ⋅ 0;
tz = nx ⋅ 0 + ny ⋅ 0 + nz ⋅ 0 = 0.
Es decir, el vector tensión siempre está contenido en el plano de tensión plana.
Tensión plana y tensiones principales
Un hecho importante del estado de tensión plana es que una de las tensiones principales es nula y la dirección principal correspondiente es la perpendicular al plano en el que están contenidas las tensiones. La demostración es trivial: el vector tensión medido en la dirección perpendicular al plano de tensión plana es nulo, así que es un múltiplo (nulo en este caso) de la dirección de medida, que es precisamente el requisito que cumplen las tensiones principales. Por ortogonalidad, las otras dos tensiones principales están contenidas en el plano de tensión plana.
Restricciones adicionales
La definción (o las definiciones) que hemos visto de la tensión plana no dicen nada sobre cómo varía el tensor de tensiones. En concreto, nada impide que el tensor de tensiones cambie al tomar medidas en posiciones diferentes según la dirección perpendicular al plano de tensión plana. A menudo, cuando se habla de tensión plana, se hace una restricción adicional que consiste en que el tensor de tensiones no varía según la dirección perpendicular al plano de tensión plana. Este tipo de estado es especialmente fácil de analizar.
Tensión plana en el mundo real
Son muy abundantes las situaciones que se dejan modelar como estados de tensión plana. Por ejemplo, los cuerpos sólidos delgados suelen presentar tensiones que quedan muy bien aproximadas como un estado de tensión plana. Aunque las tensiones en la dirección perpendicular al plano de tensión plana son en general no nulas, suelen ser tan pequeñas que es perfectamente aceptable de cara al análisis fingir que no existen.
Categorías: Física
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Tensiones o esfuerzos mecánicos (16)
2016-06-23
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; recientemente echamos un vistazo a la cuádrica directriz de tensiones, que es una representación geométrica del tensor de tensiones que permite conocer algunas propiedades cuando se sabe la dirección del vector tensión. La cuádrica directriz de tensiones es muy similar a la cuádrica indicatriz de tensiones y, como ella, también relaciona relaciona el vector tensión y la dirección normal al plano de medida, pero esta vez en el sentido inverso al permitido por la cuádrica indicatriz de tensiones.
La cuádrica indicatriz de tensiones como herramienta gráfica de cálculo del vector normal
Con la notación del artículo previo, la cuádrica directriz de tensiones es la superficie cuyos puntos (de coordenadas {y1, y2, y3} en en ejes principales) obedecen la ecuación implícita siguiente:
σ ⁄ |σ| = signo(σ) = (x1)2 ⁄ σ1 + (y2)2 ⁄ σ2 + (y3)2 ⁄ σ3.
En un punto cualquiera de la cuádrica directriz de tensiones, el plano tangente es perpendicular a la dirección M (de componentes {M1, M2, M3}) marcada por el gradiente de la ecuación implícita:
M1 = 2 y1 ⁄ σ1 = 2 t1 ⁄ (σ1 √|σ|);
M2 = 2 y2 ⁄ σ1 = 2 t2 ⁄ (σ2 √|σ|);
M3 = 2 y3 ⁄ σ3 = 2 t3 ⁄ (σ3 √|σ|).
Por otra parte, el vector tensión t tiene componentes
t1 = n1 σ1;
t2 = n1 σ2;
t3 = n1 σ3.
Esto es lo mismo que decir que el vector normal al plano de medida tiene componentes
n1 = t1 ⁄ σ1;
n2 = t2 ⁄ σ2;
n3 = t1 ⁄ σ3.
El vector normal al plano de medida y el vector perpendicular a la cuádrica directriz de tensiones son colineales.
Conocida la cuádrica directriz de tensiones, es fácil calcular gráficamente el vector normal para vector tensión dado:
- se traza desde el origen una línea orientada según el vector tensión que intersecta la cuádrica directriz de tensiones;
- en este punto de intersección, se traza el plano tangente a la cuádrica;
- se traza la perpendicular al plano tangente que pasa por el origen;
- esta perpendicular es colineal con el vector normal al plano de medida;
- la orientación del vector normal queda determinada con el signo de la tensión normal: si es de tracción, el vector normal tensión apunta hacia el vector tensión; si es de compresión, apunta en sentido opuesto.
La siguiente figura (bidimensional para facilitar la visualización) sirve de ejemplo:
Cálculo gráfico mediante la cuádrica indicatriz de tensiones.
Dado un vector tensión t, se
calcula el punto
correspondiente y en la
cuádrica indicatriz sin más que prolongar hasta la intersección.
Seguidamente, se traza el plano tangente a la cuádrica (línea de
puntos tangente a la rama de hipérbola en el
punto y. El vector normal
está en la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la
tangente (la otra línea de puntos). La orientación queda determinada
en este caso porque se espera que la tensión normal sea compresiva, es
decir, que apunte en sentido opuesto a la dirección normal de
medida n.
Categorías: Física
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2016/06/23/tensiones-o-esfuerzos-mecanicos-16/
Tensiones o esfuerzos mecánicos (15)
2016-06-11
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; algunas, como la cuártica indicatriz de tensiones, son representaciones geométricas. Hoy vamos con otra representación geométrica que es muy similar a la cuártica indicatriz de tensiones: la cuártica directriz de tensiones. El desarrollo es similar al de la cuádrica indicatriz de tensiones, pero en vez de ofrecer información relacionada con la dirección normal de medida, la aporta relacionada con el vector tensión.
La cuádrica directriz de tensiones
Asumiremos que al menos una de las tensiones principales es no negativa. Si todas las tensiones principales fueran negativas, el estudio de la tensión sería trivial. Además de esto, asumimos el siguiente orden:
σ1 ≤ σ2 ≤ σ3.
En ejes principales, conocido el vector tensión, la dirección normal tiene las siguientes componentes:
n1 = t1 ⁄ σ1;
n2 = t2 ⁄ σ2;
n3 = t3 ⁄ σ3.
La tensión normal σ es la proyección del vector tensión sobre el vector normal:
σ ≡ t ⋅ n = (t1)2 ⁄ σ1 + (t2)2 ⁄ σ2 + (t3)2 ⁄ σ3.
Ahora, definamos el vector y de componentes
y1 ≡ t1 ⁄ √σ;
y2 ≡ t2 ⁄ √σ;
y3 ≡ t3 ⁄ √σ.
Al expresar la ecuación de la tensión normal en función de las componentes de este nuevo vector y dividir por |σ|, se obtiene la siguiente ecuación:
signo(σ) = σ ⁄ |σ| = (y1)2 ⁄ σ1 + (y2)2 ⁄ σ2 + (y3)2 ⁄ σ3.
Se trata de la ecuación implícita de una superficie cuádrica que es el lugar geométrico ocupado por el vector y: la cuádrica directriz de tensiones.
Todas las tensiones principales tienen el mismo signo
La ecuación de la cuádrica directriz de tensiones solamente tiene solución real:
- si las tensiones principales son positivas, cuando la tensión normal es positiva (de tracción);
- si las tensiones principales son negativas, cuando la tensión normal es negativa (de compresión).
La cuádrica directriz de tensiones es un elipsoide cuya ecuación es la siguiente:
(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 1.
Cuádrica directriz de tensiones cuando todas las tensiones
principales son positivas.
Dos tensiones principales tienen un signo y la tensión principal restante tiene el signo opuesto
La cuádrica directriz de tensiones es un hiperboloide. Asumamos en primer lugar que las dos primeras tensiones principales son negativas y la tercera es positiva:
σ1 ≤ σ2 < 0 < σ3.
Si la tensión normal es positiva (a tracción), tenemos un hiperboloide de dos hojas:
−(y1)2 ⁄ |σ1| − (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 1.
Si la tensión normal es negativa (a compresión), tenemos un hiperboloide de una hoja:
(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = −1.
La frontera entre ambos casos, con tensión normal nula, es un cono elíptico:
(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 0.
Cuádrica directriz de tensiones cuando dos tensiones principales
son negativas y la tercera es positiva.
La relación de signos se invierte cuando una tensión principal es negativa y las dos restantes son positivas: el hiperboloide de dos hojas es para tensión normal compresiva y el hiperboloide de una hoja es para tensión normal a tracción.
Una tensión principal nula y las otras dos no nulas y de signo idéntico
Debido a la ordenación que hemos asignado a las tensiones principales, tenemos una de las dos siguientes condiciones:
- σ1 ≤ < σ2 < 0 = σ3;
- σ1 = 0 < σ2 ≤ < σ3.
La cuádrica directriz de tensiones es un cilindro elíptico. También puede verse como que se elimina la dimensión correspondiente a la tensión principal nula y la cuádrica directriz de tensiones pasa a ser una cónica (una elipse en este caso). La tensión normal es necesariamente de tracción cuando las tensiones principales no nulas son positivas y necesariamente de compresión cuando las tensiones principales no nulas son negativas.
Cuádrica directriz de tensiones cuando una tensión principal es
nula y las otras dos son positivas.
Una tensión principal nula y las otras dos no nulas y de signo opuesto
Debido a la ordenación que hemos asignado a las tensiones principales, tenemos la condición σ1 < 0 < σ3.
La cuádrica directriz de tensiones es un cilindro hiperbólico. También puede verse como que se elimina la dimensión correspondiente a la tensión principal nula y la cuádrica directriz de tensiones pasa a ser una cónica (una hipérbola). Hay un par de ramas de hipérbola para un signo de la tensión normal y otro par para el otro signo, tal que las asíntotas son las mismas y vienen dadas por la ecuación correspondiente a anular el signo:
−(t1)2 ⁄ |σ1| + (t3)2 ⁄ |σ3| = 0.
Uno de los pares es el siguiente, correspondiente a tracción:
−(t1)2 ⁄ |σ1| + (t3)2 ⁄ |σ3| = 1.
El otro es el que corresponde a compresión.
−(t1)2 ⁄ |σ1| + (t3)2 ⁄ |σ3| = −1.
Cuádrica directriz de tensiones cuando una tensión principal es
negativa, otra es nula y la tercera es positiva.
Dos tensiones principales nulas y otra no nula
En este caso, la cuádrica indicatriz de tensiones no aporta mucha información interesante debido a la reducida dimensión del problema.
Categorías: Física
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Tensiones o esfuerzos mecánicos (14)
2016-06-07
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; algunas, como el elipsoide de Lamé, son representaciones geométricas. Ayer dimos un vistazo rápido a una de estas representaciones: la cuádrica indicatriz de tensiones. Quedó en el tintero una propiedad importante de esta representación.
La cuádrica indicatriz de tensiones como herramienta gráfica de cálculo de la tensión
Recordemos que, con la notación de ayer, la cuádrica indicatriz de tensiones es la superficie cuyos puntos (de coordenadas {x1, x2, x3} en en ejes principales) obedecen la ecuación implícita siguiente:
σ ⁄ |σ| = signo(σ) = σ1 (x1)2 + σ2 (x2)2 + σ3 (x3)2.
En un punto cualquiera de la cuádrica indicatriz de tensiones, el plano tangente es perpendicular a la dirección N (de componentes {N1, N2, N3}) marcada por el gradiente de la ecuación implícita:
N1 = 2 σ1 x1 = 2 σ1 n1 ⁄ √σ;
N2 = 2 σ2 x2 = 2 σ2 n2 ⁄ √σ;
N3 = 2 σ3 x3 = 2 σ3 n3 ⁄ √σ.
Por otra parte, el vector tensión t tiene componentes
t1 = n1 σ1;
t2 = n1 σ2;
t3 = n1 σ3.
Se aprecia, por lo tanto, que la perpendicular local a la cuádrica indicatriz de tensiones N y el vector tensión t son colineales.
Conocidos el elipsoide de Lamé y la cuádrica indicatriz de tensiones, es fácil calcular gráficamente el vector tensión para una dirección de medida dada:
- se traza desde el origen la dirección de medida hasta que intersecta la cuádrica indicatriz de tensiones;
- en este punto de intersección, se traza el plano tangente a la cuádrica;
- se traza la perpendicular al plano tangente que pasa por el origen;
- una de las dos intersecciones de esta perpendicular con el elipsoide de Lamé es el vector tensión;
- la intersección queda determianada de acuerdo con el signo de la tensión normal: si es de tracción, el vector tensión apunta hacia el vector normal de medida; si es de tracción, apunta en sentido opuesto.
La siguiente figura (bidimensional para facilitar la visualización) sirve de ejemplo:
Cálculo gráfico mediante el elipsoide de Lamé y la cuádrica
indicatriz de tensiones. Dada una dirección de
medida n, se calcula el punto
correspondiente x en la
cuádrica indicatriz sin más que prolongar hasta la intersección.
Seguidamente, se traza el plano tangente a la cuádrica (línea de
puntos tangente a la rama de hipérbola en el
punto x. El vector tensión
t está en la intersección de
la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la tangente (la
otra línea de puntos) y el elipsoide de Lamé (la elipse en esta
figura). La intersección queda determinada en este caso porque se
espera que la tensión normal sea compresiva, es decir, que apunte en
sentido opuesto a la dirección normal de
medida n.
Categorías: Física
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2016/06/07/tensiones-o-esfuerzos-mecanicos-14/
Tensiones o esfuerzos mecánicos (13)
2016-06-06
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; algunas, como el elipsoide de Lamé, son representaciones geométricas. Hoy vamos a estudiar otra de estas representaciones geométricas: la cuádrica indicatriz de tensiones.
La cuádrica indicatriz de tensiones
Para hacer los cálculos sencillos, vamos a trabajar en ejes principales. Las tensiones principales son
σ1 ≤ σ2 ≤ σ3.
De ahora en adelante, asumimos que al menos una de las tensiones principales es no nula; si todas fueran nulas, el estudio de las tensiones sería trivial.
En una dirección cualquiera caracterizada por el vector unitario n de componentes en ejes principales
{n1, n2, n3},
el vector tensión t tiene componentes
t1 = n1 σ1;
t2 = n1 σ2;
t3 = n1 σ3.
La tensión normal σ, que es la proyección del vector tensión t en la dirección de medida n, es
σ ≡ t ⋅ n = σ1 (n1)2 + σ2 (n2)2 + σ3 (n3)2.
Hasta aquí, todo es una repetición de lo que vimos en artículos anteriores. Ahora, tomemos un vector x de componentes
x1 ≡ n1 ⁄ √|σ|;
x2 ≡ n2 ⁄ √|σ|;
x3 ≡ n3 ⁄ √|σ|.
Al sustituir las componentes del vector normal n con las del nuevo vector x en la ecuación de la tensión normal, sale lo siguiente:
σ ⁄ |σ| = signo(σ) = σ1 (x1)2 + σ2 (x2)2 + σ3 (x3)2.
Esta ecuación indica que el vector x está restringido a una superficie cuádrica: la cuádrica indicatriz de tensiones. La teoría de las superficies cuádricas permite obtener información sobre las tensiones.
Todas las tensiones principales positivas
Si las tres tensiones principales son estrictamente positivas, la cuártica indicatriz de tensiones describe un elipsoide. Si el signo de la tensión normal σ fuera negativo, el elipsoide sería imaginario y, por extensión, el propio vector normal n. Tampoco es posible que el signo sea indefinido (o 0). Por el contrario, si el signo de la tensión normal es positivo, el elipsoide es real. Por lo tanto, si todas las tensiones principales son positivas, la tensión normal siempre ha de ser positiva, es decir, de tracción, sin importar la dirección del vector normal a la superficie en la que se mide la tensión. La ecuación del elipsoide es la siguiente:
|σ1| (x1)2 + |σ2| (x2)2 + |σ3| (x3)2 = 1.
Cuádrica indicatriz de tensiones cuando todas las tensiones
principales son positivas.
Todas las tensiones principales negativas
Si las tres tensiones principales son estrictamente negativas, la cuártica indicatriz de tensiones describe un elipsoide con un comportamiento respecto al signo de la tensión normal opuesto al del caso de las tres tensiones principales estrictamente positivas. Por lo tanto, si las tres tensiones principales son estrictamente negativas, la tensión normal siempre es negativa, es decir, de compresión, sin importar la dirección del vector normal a la superficie en la que se mide la tensión. La ecuación del elipsoide es igual que antes:
|σ1| (x1)2 + |σ2| (x2)2 + |σ3| (x3)2 = 1.
Una tensión principal con un signo y las otras dos con el signo opuesto
Asumamos que σ3 > 0 y σ1 ≤ σ2 < 0. Como pasaba cuando todas las tensiones principales tenían el mismo signo, pasar al otro caso (σ1 < 0 y σ3 ≥ σ2 > 0) meramente consiste en un cambio de signos. La cuádrica indicatriz describe un hiperboloide de dos hojas cuando el signo de la tensión normal es positivo, un hiperboloide de una hoja cuando el signo de la tensión normal es negativo, y un cono elíptico (la frontera entre los hiperboloides de dos hojas y los hiperboloides de una hoja) en el caso degenerado en el que el signo se anula. Con tensión normal positiva, el hiperboloide tiene la siguiente ecuación:
−|σ1| (x1)2 − |σ2| (x2)2 + |σ3| (x3)2 = 1.
Con tensión normal negativa, el hiperboloide queda así:
−|σ1| (x1)2 − |σ2| (x2)2 + |σ3| (x3)2 = −1.
El caso degenerado es así:
−|σ1| (x1)2 − |σ2| (x2)2 + |σ3| (x3)2 = 0.
Dado que el vector x no es más que el vector normal n multiplicado por un escalar, es posible comparar directamente la dirección del vector normal con las cuádricas para saber el signo de la tensión normal σ. Se aprecia que si la dirección normal queda contenida en el interior del cono, al escalarla solamente es posible interceptar los hiperboloides de dos hoja; por lo tanto, el signo de la tensión normal es positivo (la tensión normal es de tracción). Por el contrario, si la dirección normal queda contenida en el exterior del cono, al escalarla solamente es posible interceptar los hiperboloides de una hoja; por lo tanto, el signo de la tensión normal es negativo (la tensión normal es de compresión). En los casos en los que la dirección normal coincide con la superficie del cono, la tensión normal es nula.
Cuádrica indicatriz de tensiones cuando dos tensiones principales
son negativas y la tercera es positiva. Las direcciones contenidas en
el interior del cono (marcado con puntos) tienen tensiones normales a
tracción y las direcciones contenidas en el exterior del cono tienen
tensiones normales a compresión.
Si los signos de las tensiones principales se invierten, los signos del análisis del párrafo anterior también lo hacen: con dirección normal en el interior del cono, la tensión normal es compresiva; con dirección normal en el exterior del cono, la tensión normal es de tracción.
Dos tensiones principales de signo idéntico y la otra nula
Este caso es como llevar al límite el del elipsoide o el del hiperboloide de una hoja: la cuártica degenera en un cilindro elíptico, tal que la tensión es siempre de tracción si las tensiones principales no nulas son positivas y es siempre de compresión si las tensiones principales no nulas son negativas. También puede prescindirse de la dimensión correspondiente a la tensión principal nula y analizar la cuádrica como una cónica (una elipse en este caso).
Cuádrica indicatriz de tensiones cuando dos tensiones principales
son de signo idéntico (en este caso, positivo) y la restante es nula.
Dos tensiones principales de signo opuesto y la otra nula
Este caso es una degeneración del caso de los hiperboloides y también puede verse como que las cuádricas degeneran en cónicas (hipérbolas) al eliminar la dimensión correspondiente a la tensión principal nula. El cono asintótico se transforma en dos rectas asintóticas que se cruzan en el origen y que dividen el plano en regiones alternantes entre compresión y tracción.
Cuádrica indicatriz de tensiones cuando dos tensiones principales
son de signo opuesto y la restante es nula.
Dos tensiones principales nulas y la otra no nula
En este caso, la cuártica es casi trivial y aporta escasa información útil. La tensión normal puede tener cualquier signo y se anula exactamente cuando la dirección normal al plano de medida es perpendicular a la dirección principal no nula.
Categorías: Física
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Gawker, el dinero, la libertad de prensa y los derechos de los seres humanos
2016-06-04
Gawker es un tabloide que se publica en Internet desde 2003 y que se comporta como una especie de matón mediático (con especial fijación por violar la privacidad sexual de sus víctimas) que suele salir indemne gracias al dinero que tiene detrás.
Terry Bollea contra Gawker Media
Recientemente se ha hablado mucho de la publicación de un vídeo en el que se violaba la privacidad sexual de Terry Gene Bollea (conocido como Hulk Hogan). Gawker publicó este vídeo en 2012. Naturalmente, la víctima emprendió acciones legales y un juez ordenó retirar el vídeo, pero Gawker se negó a obedecer porque se trataba del ejercicio de la libertad de expresión (del daño a la víctima, mejor no hablar). La cosa judicial siguió en marcha durante estos años hasta que este mes de marzo el jurado dio un veredicto favorable a Bollea: Gawker Media (la compañía que está detrás del tabloide Gawker) tendrá que pagar 115 millones de dólares para compensar los daños causados a la víctima y, además 25 millones de dólares punitivos. Se trata de un golpe importante para Gawker Media, que normalmente actúa con cierta impunidad.
Entra en escena Peter Thiel
La historia se complica. Salió a la luz hace unos días que el multimillonario Peter Thiel ha estado financiando en secreto la demanda interpuesta por Terry Bollea. Los asuntos judiciales pueden convertirse en una lucha en la que se muestra quién tiene el bolsillo más profundo, y si en Gawker Media están podridos de dinero, será mejor no hablar del astronómico patrimonio de Peter Thiel. Resulta que Thiel fue víctima hace años de un artículo de Gawker que no era más que sucio acoso homófobo y puede que le guarde cierto rencor al tabloide.
¿Dinero para eliminar la libertad de prensa?
La cuantía que tiene que pagar Gawker por el daño causado a Terry Bollea es suficiente para dejar a la compañía en muy mal estado. Podría argumentarse que esto es un alarmante golpe contra la libertad de prensa, especialmente si se tiene en cuenta que ha habido un multimillonario financiando en secreto la demanda. Por otra parte, sabemos bien que no se trataba de una demanda frívola (sino, más bien, de todo lo contrario) y que un pago más pequeño carecería de poder ejemplarizante. En este caso, la víctima de Gawker obtiene una jugosa retribución económica gracias a que tenía dinero detrás, pero en otro caso no habría pasado nada precisamente porque el tabloide tiene todavía más dinero. Si Gawker Media, una corporación, puede hacer daño a personas reales, ¿no es justo que pueda sufrir daños en consecuencia? La libertad de prensa es importante, pero también lo es el derecho a la privacidad.
Hay que reconocer, por supuesto, que el mero hecho de que un multimillonario pueda financiar una demanda capaz de acabar con un medio de comunicación parece algo peligroso. Yo puedo argumentar (y otras personas pueden estar en contra de esto) que en este caso el medio de comunicación se dedicaba a violar unos derechos más valiosos que los de la propia prensa, pero es cierto que no hay mucho impedimento a que mañana llegue otro individuo adinerado e intente arruinar medios que no han hecho nada malo simplemente con el fin de eliminar las voces discordantes. Por otra parte, esto ya puede hacerse y se hace por la pacífica vía de comprar empresas hasta construir un imperio mediático. El dinero distorsiona la cosa judicial y la cosa informativa hoy, pero también las distorsionaba hace un siglo. Por lo tanto, no es que tengamos motivos para empezar a alarmarnos, es que tenemos motivos para alarmarnos un poquito más que hace unos meses.
Este caso, como muchos otros, no se resuelve de forma plenamente satisfactoria.
Categorías: Actualidad, Derechos
