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Tensiones o esfuerzos mecánicos (6)

2015-08-19

La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos recientemente que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor de segundo orden: el tensor de tensiones. Hoy determinaremos que se trata de un tensor simétrico.

La conservación del momento angular y la simetría del tensor de tensiones

Vamos a hacer un trabajo análogo al del artículo de ayer y vamos a plantear la ley del momento angular. Vamos a usar la misma notación que entonces con la única novedad del vector r, que es el radio vector de cada punto del dominio en el que integramos. Este radio vector tiene componentes x₁, x₂ y x₃ en el sistema de coordenadas cartesianas que vamos a utilizar. Tenemos lo siguiente:

∫∫∫_V ρ r × a dV = ∫∫∫_V r × f dV + ∫∫_S r × n ⋅ σ dS.

Si asumimos que el campo de tensiones es diferenciable y aplicamos el teorema de la divergencia, la integral de superficie se convierte en una integral de volumen:

∫∫_S r × n ⋅ σ dS = ∫∫∫_V div[r × σ] dV = ∫∫∫_V (grad r) × σ dV + ∫∫∫_V r × (div σ) dV.

La notación del producto vectorial entre el gradiente del radio vector y el tensión de tensiones es un poco artificial; la expresión es un vector cuya componente i-ésima es

[(grad r) × σ]_i = ∑_j∑_k∑_l ε_ijk ∂r_j ⁄ ∂r_l σ_lk = ∑_j∑_k ε_ijk σ_jk.

En la expresión anterior, ε_ijk es el símbolo de Levy-Civita, que adopta un valor nulo para todas las combinaciones de índices menos para los siguientes casos:

ε₁₂₃ = ε₃₁₂ = ε₂₃₁ = 1;

ε₃₂₁ = ε₁₃₂ = ε₂₁₃ = −1.

Volvamos al resultado del teorema de la divergencia. Sustituyamos el valor de la igualdad en la ley del momento angular y agrupemos términos:

0 = ∫∫∫_V r × [−ρ a + f + div σ] dV + ∫∫∫_V (grad r) × σ dV.

El dominio de integración V. Por lo tanto, para que se cumpla la primera integral, tiene que cumplirse la ecuación diferencial

[r × (−ρ a + f + div σ] + [(grad r) × σ] = 0,

Hay dos términos entre corchetes. El primer término es el producto exterior del radio vector y los términos no explícitamente nulos de la ecuación de la cantidad de movimiento en forma diferencial, así que sabemos que es igual a 0. Tras cancelar, queda el otro término, que todavía aporta información interesante:

(grad r) × σ = 0.

Las tres componentes de esta magnitud salen de desarrollar la expresión que vimos antes en la que aparecía el símbolo de Levy-Civita:

σ₂₃ − σ₃₂ = 0;

σ₃₁ − σ₁₃ = 0;

σ₁₂ − σ₂₁ = 0.

Por lo tanto, el tensor de tensiones es simétrico.

Categorías: Física

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