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Tensiones o esfuerzos mecánicos (5)

2015-08-18

La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. En el último artículo vimos que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor de segundo orden: el tensor de tensiones. Anteriormente, vimos de forma fugaz la ecuación de la cantidad de movimiento en forma integral para una masa de control. Hoy vamos con la fora diferencial, que será útil más adelante.

Ley de la cantidad de movimiento en forma diferencial

Retomemos la ecuación de la cantidad de movimiento que aparecía en el tercer artículo de esta serie:

∫∫∫_V ρ a dV = ∫∫∫_V f dV + ∫∫_S t dS.

El vector tensión t está relacionado con la normal n al contorno del dominio y el tensor de tensiones σ mediante la ley

t = n ⋅ σ.

Con esto, la ley de la cantidad de movimiento queda de la siguiente manera:

∫∫∫_V ρ a dV = ∫∫∫_V f dV + ∫∫_S n ⋅ σ dS.

Si asumimos que el campo de tensiones es diferenciable y aplicamos el teorema de la divergencia, la integral de superficie se convierte en una integral de volumen:

∫∫_S n ⋅ σ dS = ∫∫∫_V div σ dV.

Sustituyamos el valor de esta igualdad en la ley de la cantidad de movimiento y agrupemos términos:

0 = ∫∫∫_V −ρ a + f + div σ dV.

El dominio de integración V. Por lo tanto, para que se cumpla la primera integral, tiene que cumplirse la ecuación diferencial

−ρ a + f + div σ = 0.

Esta ecuación es la ley de conservación de la cantidad de movimiento en forma diferencial. La formulación es lagrangiana (ligada al material) así que la aceleración quedaría sustituida por la derivada convectiva de la velocidad en una descripción euleriana (ligada al espacio).

Categorías: Física

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