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2021-11-30
Hace unos
días hicimos
un pequeño ejercicio de aplicación
del teorema de
Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la
eficacia
de una vacuna. Más adelante, revisamos los
números con
datos del Ministerio de Sanidad relativos a la terrible epidemia que
nos azota.
Sucede que algunos datos disponibles tienen valores tales que, con
la resolución finita con la que están dados y la incertidumbre con la
que pueden contar, no permiten obtener resultados útiles. Por
ejemplo, si queremos estimar la eficacia de las vacunas frente a que
los pacientes de 80 años o más acaben en cuidados intensivos, tenemos
un problema, ya que los mayores de 79 años sin vacunar son tan pocos
que en los informes de vacunación son una cantidad nula.
Afortunadamente, puede haber otros datos relacionados que nos permiten
realizar los cálculos de forma satisfactoria.
Con la notación explicada en el anterior artículo de la serie,
tenemos la siguiente relación para la estimación de la eficacia de las
vacunas:
eficacia = 1 −
[P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma)]
× [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].
Ahora bien, se da lo siguiente:
P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma) =
(enfermos vacunados) ⁄ (enfermos sin vacunar);
P(no vacunada) ⁄ P(vacunada) =
(población sin vacunar) ⁄ (población vacunada).
Esto permite expresar la aproximación de la eficacia de la
siguiente manera:
eficacia = 1 −
[(enfermos vacunados) ⁄ (población vacunada)] ×
[(enfermos sin vacunar) ⁄ (población sin vacunar)].
En los informes con desglose por estado de vacunación, grupo de
edad y gravedad de la enfermedad, aparecen las tasas semanales de
enfermos en cada nivel de gravedad (y los totales) referidas a cada
grupo de edad y estado de vacunación referidas a las poblaciones
totales en cada grupo de edad y estado de vacunación. Con estas tasas
en las manos, la expresión anterior queda simplificada de la siguiente
manera:
eficacia = 1 −
(tasa semanal de enfermos vacunados) ⁄ (tasa semanal de enfermos sin vacunar).
En el caso de los mayores de 79 años que acaban en cuidados
intensivos, tenemos los siguientes números del último informe:
(tasa semanal de enfermos vacunados) ≅
0,2 enfermos semanales ⁄ 100000 habitantes;
(tasa semanal de enfermos sin vacunar) ≅
2,6 enfermos semanales ⁄ 100000 habitantes.
Con estos datos, la eficacia de las vacunas frente a acabar en
cuidados intensivos para la población mayor de 79 años es
eficacia ≅ 1 − 0,2 ⁄ 2,6 ≅ 0,92.
Hace falta cierta cautela al interpretar estos resultados, no
obstante. Es fácil comprobar que la población de 80 años o más que se
deduce de los casos en cuidados intensivos es aproximadamente cuatro
quintos de la que puede deducirse de los casos totales. Se deduce de
esto:
tasa semanal = casos ⁄ (población × tiempo).
Esto se debe a la cantidad de cifras decimales empleada, que es tan
escasa que los tasa de casos en cuidados intensivos en la población
vacunada apenas tiene una cifra significativa. La eficacia calculada
puede ser de 0,92, pero si refinamos la tasa semanal para que la
población total sea la correcta (esto deja intacto el valor redondeado
a una cifra decimal), la eficacia asciende a 0,94. Por otra parte, es
interesante observar que la población vacunada que se deduce de todos
estos números no alcanza el 100,0 % de los informes de vacunación.
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Matemáticas,
Salud
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http://sgcg.es/articulos/2021/11/30/ejemplo-del-teorema-de-bayes-aplicado-a-las-vacunas-3/
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2021-11-29
La semana pasada se celebró
la Copa
Rostelecom de 2021 en la pista en el Palacio de Deportes de Hielo
Iceberg de Sochi. Se trata de la sexta prueba del Grand Prix
de patinaje artístico sobre hielo de este año. Compitió por España en
danza la pareja formada
por Sara
Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición terminó el sábado con
los largos de libre masculino, danza, parejas y libre femenino.
- En libre masculino,
revolución. Morisi
Kvitelashvili (Georgia), con el tercer mejor largo, sumó puntos
para quedar en primera posición
final. Mikhail
Kolyada (Rusia) hizo el mejor largo y ascendió del cuarto puesto
del corto al segundo final. Kazuki
Tomono (Japón), con el quinto mejor largo, descendió hasta la
tercera posición final.
- En
danza, Victoria
Sinitsina y Nikita Katsalapov (Rusia) confirmaron el trabajo del
corto y quedaron
primeros. Charlene
Guignard y Marco Fabbri (Italia), a su vez, se mantuvieron en un
segundo puesto bien
asegurado. Laurence
Fournier Beaudry y Nikolaj Soerensen (Canadá) quedaron terceros
con una ventaja relativamente pequeña
sobre Sara
y Kirill, cuartos.
- En
parejas, Anastasia
Mishina y Aleksandr Galliamov (Rusia) rectificaron y subieron al
primer puesto en detrimento de
Daria
Pavliuchenko y Denis Khodykin (Rusia), que terminaron
segundos. Iasmina
Kadyrova e Ivan Baklchenko (Rusia) se mantuvieron en tercer lugar.
- En libre
femenino, Kamila
Valieva (Rusia), con varios cuádruples en su repertorio, quedó
completamente aislada en una imponente primera
posición. Elizaveta
Tuktamysheva (Rusia) hizo el tercer mejor largo, pero su ventaja
de puntuación del corto la mantuvo en segunda
posición. Maiia
Khromykh (Rusia), otra que tira cuádruples, hizo el segundo mejor
largo y ascendió del quinto puesto del corto al tercero final.
Del Grand Prix queda la final, que se celebrará en Osaka.
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Actualidad,
Deporte
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2021-11-28
Esta semana se celebra
la Copa
Rostelecom de 2021 en la pista en el Palacio de Deportes de Hielo
Iceberg de Sochi. Se trata de la sexta prueba del Grand Prix
de patinaje artístico sobre hielo de este año. Compite por España en
danza la pareja formada
por Sara
Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición comenzó el viernes con
los cortos de libre masculino, danza, parejas y libre femenino.
La competición terminó el sábado con los largos de libre masculino,
danza, parejas y libre femenino.
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2021-11-26
En el
anterior artículo hicimos un pequeño ejercicio práctico de
aplicación
del teorema de
Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la
eficacia
de una vacuna. Desde hace poco tiempo, el Ministerio de Sanidad
(y etcétera) está incluyendo en sus informes sobre la terrible
epidemia que tanto daño está causando información sobre contagios y
gravedad en función del estado de vacunación. Vamos a usar algunos de
estos datos junto con el resultado del artículo anterior, que podemos
generalizar de cierta manera la expresión para estimar la eficacia del
conjunto de las vacunas en un momento dado y para un cierto
subconjunto de la población susceptible frente a enfermar en general o
con un cierto nivel de gravedad en particular:
eficacia = 1 −
[P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma)]
× [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].
En la expresión
anterior, P(vacunada|enferma) es la
proporción de población vacunada (quizá totalmente, quizá
parcialmente) entre la población enferma (quizá con cierto nivel de
gravedad, quizá de cierto grupo de
edad); P(no vacunada|enferma) es lo mismo,
pero para la proporción de población sin
vacunar; P(vacunada) es la proporción de
población vacunada (quizá totalmente, quizá parcialmente) frente al
total de población susceptible (quizá en cierto grupo de edad); y
P(no vacunada) es lo mismo, pero para la
proporción de población sin vacunar.
Revisemos el cálculo para los casos en cuidados intensivos del otro
día. Los números publicados de pacientes en cuidados intensivos son
los acumulados durante los últimos dos meses y la tasa de vacunación
en pauta completa de la población mayor de once años (de once años
para abajo, la tasa de vacunación es cero) ha variado un poquito en
este intervalo de tiempo (de alrededor del 86 % a alrededor del 89 %).
La población mayor de once años sin dosis alguna de la vacuna ha
pasado del 11 % al 9 %. Aunque quizá sería interesante modelar de
alguna manera la evolución temporal de los casos, vamos a
conformarnos, por brevedad, con tomar valores medios, conscientes de
que fácilmente estamos introduciendo un error de algunos puntos
porcentuales:
P(vacunada) ≅ 0,88;
P(no vacunada) ≅ 0,10.
Del último informe disponible en el momento de escribir estas
líneas da que se han acumulado en un par de meses 331 pacientes
vacunados con pauta completa en cuidados intensivos y 296 pacientes
sin vacunar mayores de once años en cuidados intensivos. Esto da la
siguiente relación en la que la población enferma se concreta en la
que está en cuidados intensivos:
P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma) =
331 ⁄ 296.
Por lo tanto, la eficacia frente a acabar en cuidados intensivos
puede aproximarse así:
eficacia ≅ 1 − (331 ⁄ 296) × (0,10 ⁄ 0,88) ≅
0,87.
Esto es para el total de la población mayor de 11 años. Hay grupos
de edad en los que podemos obtener una estimación de la eficacia mucho
mayor que la que sacamos para el conjunto total.
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Salud
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2021-11-24
Veamos cómo aplicar
el teorema de
Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la
eficacia
de una vacuna.
Digamos que tenemos una población en la que hay cierta proporción
P(vacunada) de la población susceptible que
está vacunada contra cierta enfermedad y cierta
proporción P(no vacunada) = 1 − P(vacunada)
que no está vacunada contra dicha enfermedad.
La enfermedad es potencialmente grave y muchos pacientes acaban en
cuidados intensivos. La proporción de pacientes en cuidados
intensivos frente a la población susceptible total
es P(cuidados intensivos), pero veremos que
no la necesitamos para los cálculos que vamos a realizar. De los
pacientes en cuidados intensivos, una proporción
P(vacunada|cuidados intensivos) está
vacunada y una
proporción P(no vacunada|cuidados intensivos) = 1 −
P(vacunada|cuidados intensivos) está sin vacunar.
Aunque conocemos la proporción de vacunados y no vacunados en
cuidados intensivos, no conocemos la proporción de pacientes en
cuidados intensivos entre la población susceptible total vacunada y
entre la población susceptible total sin vacunar. La primera
es P(cuidados intensivos|vacunada) y la
segunda
es P(cuidados intensivos|no vacunada. El
teorema de Bayes permite relacionar unas proporciones con otras:
P(cuidados intensivos|vacunada) =
P(vacunada|cuidados intensivos) × P(cuidados intensivos) ⁄ P(vacunada).
P(cuidados intensivos|no vacunada) =
P(no vacunada|cuidados intensivos) × P(cuidados intensivos) ⁄ P(no vacunada).
Podemos estimar la eficacia de la vacuna frente a acabar en
cuidados intensivos de la siguiente manera:
eficacia = 1 −
P(cuidados intensivos|vacunada) ⁄ P(cuidados intensivos|no vacunada) =
1 −
[P(vacunada|cuidados intensivos) ⁄ P(no vacunada|cuidados intensivos)] × [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].
La proporción total de población susceptible en cuidados
intensivos P(cuidados intensivos) se cancela
convenientemente gracias a los milagros del álgebra elemental.
Ahora supongamos que la proporción de población susceptible
vacunada es del 90 % y que de los pacientes que acaban en cuidados
intensivos, el 40 % había recibido la vacuna. Estos números son una
simplificación muy razonable de la realidad de cierta epidemia que
sigue azotando hoy España. Tenemos la siguiente estimación de la
vacuna o las vacunas a dicha enfermedad a día de hoy en España:
eficacia = 1 −
[0,4 ⁄ (1−0,4)] × [(1−0,9) ⁄ 0,9] ≅ 0,9.
Los números utilizados, como tienen una única cifra significativa,
no permiten dar una aproximación más fina. La fórmula empleada, por
lo demás, es una necesidad matemática y es una insensatez peligrosa
tratar de razonar con cualquiera que acepte los números introducidos
pero no acepte el resultado obtenido.
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Matemáticas,
Salud
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2021-11-23
La semana pasada se celebró
el Internationaux
de France de 2021 en la pista PoleSud de Grenoble. Se trata
de la quinta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre
hielo de este año. La competición terminó el sábado con los largos de
libre femenino, danza, libre masculino y parejas.
- En libre femenino, Anna
Shcherbakova (Rusia) aunque empezó irregular, supo recomponerse y
confirmó el primer puesto del corto. Alena
Kostornaia
(Rusia) pasó por una situación similar, aunque más suave, y mantuvo su
segundo puesto. La tercera posición fue
para Wakaba
Higuchi (Japón).
- En
danza, Gabriella
Papadakis y Guillaume Cizeron (Francia), que son algo así como de
otro mundo, siguieron tan primeros que es incluso
doloroso. Piper
Gilles y Paul Poirier (Canadá) quedaron en segundo lugar a poca
distancia de los
terceros, Alexandra
Stepanova e Ivan Bukin (Rusia).
- En libre
masculino, Yuma
Kagiyama (Japón) siguió en su primer puesto aislado. Las
siguientes plazas estuvieron algo
revolucionadas; Shun
Sato (Japón) hizo una remontada hasta un segundo puesto que superó
por muy poquito al tercero
de Jason
Brown (Estados Unidos).
- En
parejas, Aleksandra
Boikova y Dmitrii Kozlovskii (Rusia) confirmaron el buen resultado
del corto (eso sí, con alguna imperfección) y quedaron
primeros. Iuliia
Artemeva y Mikhail Nazarychev (Rusia) mantuvieron un excelente
segundo
lugar. Alexa
Knierim y Brandon Frazier (Estados Unidos) subieron un puesto
hasta la tercera posición.
La siguiente prueba del Grand Prix es la Copa Rostelecom.
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2021-11-20
Esta semana se celebra
el Internationaux
de France de 2021 en la pista PoleSud de Grenoble. Se trata
de la quinta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre
hielo de este año. La competición comenzó el viernes con los cortos
de libre femenino, danza, libre masculino y parejas.
La competición termina hoy con los largos de libre femenino, danza,
libre masculino y parejas.
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2021-11-16
La semana pasada se celebró
el Trofeo
NHK de 2021 en el Estadio Nacional Yoyogi de Tokio. Se trata de
la cuarta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre
hielo de este año. Compitieron en danza por
España Sara
Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición terminó el sábado con
los largos de parejas, danza, libre femenino y libre masculino.
- En parejas, no hubo movimientos en la
clasificación. Anastasia
Mishina y Aleksandr Galliamov (Rusia) quedaron en primer lugar, Evgenia
Tarasova y Vladimir Morozov (Rusia) quedaron segundos y
Riku Miura
y Ryuichi Kihara (Japón) quedaron terceros.
- En danza, los actuales campeones del
mundo Victoria
Sinitsina y Nikita Katsalapov (Rusia) mantuvieron el primer puesto
y aumentaron la distancia con los
segundos, Madison
Chock y Evan Bates (Estados Unidos).
superarlos. Lilah
Fear y Lewis Gibson (Reino Unido) se mantuvieron, a su vez, en el
tercer
puesto. Sara
Hurtado y Kirill Khaliavin (España) aguantaron en cuarta posición
gracias a la ventaja del corto.
- En libre
femenino, Kaori
Sakamoto (Japón) quedó aislada en el primer
puesto. Mana
Kawabe (Japón) tuvo un par de problemas de coste preocupante, pero
aguantó en la segunda posición gracias al buen resultado del corto.
Young
You (República de Corea) recortó distancia, pero acabó de todas
formas en tercera posición.
- En libre masculino,
un Shoma
Uno (Japón) imperfecto pero aun así demoledor se hizo un hueco en
las estrellas. El
segundo, Vincent
Zhou (Estados Unidos) tuvo problemas y a punto estuvo de descender
al tercer puesto. En una situación similar
estuvo Junhwan
Cha (República de Corea), que aguantó en su tercer puesto con
escaso margen, aunque con algo más de comodidad que el anterior.
La siguiente prueba del Grand Prix es el Internationaux
de France.
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2021-11-16
La semana pasada se celebró
el Trofeo
NHK de 2021 en el Estadio Nacional Yoyogi de Tokio. Se trata de
la cuarta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre
hielo de este año. Compitieron en danza por
España Sara
Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición comenzó el viernes con
los cortos de parejas, danza, libre femenino y libre masculino.
La competición terminó el sábado con los largos de parejas, danza,
libre femenino y libre masculino.
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2021-11-07
Esta semana se celebra
el Gran
Premio d'Italia de 2021 en la pista Palavela de Turín. Se
trata de la tercera prueba del Grand Prix de patinaje artístico
sobre hielo de este año. La competición terminó el sábado con los
cortos de libre femenino, danza, parejas y libre masculino.
La siguiente prueba del Grand Prix es el Trofeo NHK.
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