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Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas (3)

2021-11-30

Hace unos días hicimos un pequeño ejercicio de aplicación del teorema de Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la eficacia de una vacuna. Más adelante, revisamos los números con datos del Ministerio de Sanidad relativos a la terrible epidemia que nos azota.

Sucede que algunos datos disponibles tienen valores tales que, con la resolución finita con la que están dados y la incertidumbre con la que pueden contar, no permiten obtener resultados útiles. Por ejemplo, si queremos estimar la eficacia de las vacunas frente a que los pacientes de 80 años o más acaben en cuidados intensivos, tenemos un problema, ya que los mayores de 79 años sin vacunar son tan pocos que en los informes de vacunación son una cantidad nula. Afortunadamente, puede haber otros datos relacionados que nos permiten realizar los cálculos de forma satisfactoria.

Con la notación explicada en el anterior artículo de la serie, tenemos la siguiente relación para la estimación de la eficacia de las vacunas:

eficacia = 1 − [P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma)] × [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].

Ahora bien, se da lo siguiente:

P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma) = (enfermos vacunados) ⁄ (enfermos sin vacunar);

P(no vacunada) ⁄ P(vacunada) = (población sin vacunar) ⁄ (población vacunada).

Esto permite expresar la aproximación de la eficacia de la siguiente manera:

eficacia = 1 − [(enfermos vacunados) ⁄ (población vacunada)] × [(enfermos sin vacunar) ⁄ (población sin vacunar)].

En los informes con desglose por estado de vacunación, grupo de edad y gravedad de la enfermedad, aparecen las tasas semanales de enfermos en cada nivel de gravedad (y los totales) referidas a cada grupo de edad y estado de vacunación referidas a las poblaciones totales en cada grupo de edad y estado de vacunación. Con estas tasas en las manos, la expresión anterior queda simplificada de la siguiente manera:

eficacia = 1 − (tasa semanal de enfermos vacunados) ⁄ (tasa semanal de enfermos sin vacunar).

En el caso de los mayores de 79 años que acaban en cuidados intensivos, tenemos los siguientes números del último informe:

(tasa semanal de enfermos vacunados) ≅ 0,2 enfermos semanales ⁄ 100000 habitantes;

(tasa semanal de enfermos sin vacunar) ≅ 2,6 enfermos semanales ⁄ 100000 habitantes.

Con estos datos, la eficacia de las vacunas frente a acabar en cuidados intensivos para la población mayor de 79 años es

eficacia ≅ 1 − 0,2 ⁄ 2,6 ≅ 0,92.

Hace falta cierta cautela al interpretar estos resultados, no obstante. Es fácil comprobar que la población de 80 años o más que se deduce de los casos en cuidados intensivos es aproximadamente cuatro quintos de la que puede deducirse de los casos totales. Se deduce de esto:

tasa semanal = casos ⁄ (población × tiempo).

Esto se debe a la cantidad de cifras decimales empleada, que es tan escasa que los tasa de casos en cuidados intensivos en la población vacunada apenas tiene una cifra significativa. La eficacia calculada puede ser de 0,92, pero si refinamos la tasa semanal para que la población total sea la correcta (esto deja intacto el valor redondeado a una cifra decimal), la eficacia asciende a 0,94. Por otra parte, es interesante observar que la población vacunada que se deduce de todos estos números no alcanza el 100,0 % de los informes de vacunación.


Categorías: Matemáticas, Salud

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Copa Rostelecom de 2021 (2)

2021-11-29

La semana pasada se celebró la Copa Rostelecom de 2021 en la pista en el Palacio de Deportes de Hielo Iceberg de Sochi. Se trata de la sexta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. Compitió por España en danza la pareja formada por Sara Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición terminó el sábado con los largos de libre masculino, danza, parejas y libre femenino.

Del Grand Prix queda la final, que se celebrará en Osaka.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Copa Rostelecom de 2021 (1)

2021-11-28

Esta semana se celebra la Copa Rostelecom de 2021 en la pista en el Palacio de Deportes de Hielo Iceberg de Sochi. Se trata de la sexta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. Compite por España en danza la pareja formada por Sara Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición comenzó el viernes con los cortos de libre masculino, danza, parejas y libre femenino.

La competición terminó el sábado con los largos de libre masculino, danza, parejas y libre femenino.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas (2)

2021-11-26

En el anterior artículo hicimos un pequeño ejercicio práctico de aplicación del teorema de Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la eficacia de una vacuna. Desde hace poco tiempo, el Ministerio de Sanidad (y etcétera) está incluyendo en sus informes sobre la terrible epidemia que tanto daño está causando información sobre contagios y gravedad en función del estado de vacunación. Vamos a usar algunos de estos datos junto con el resultado del artículo anterior, que podemos generalizar de cierta manera la expresión para estimar la eficacia del conjunto de las vacunas en un momento dado y para un cierto subconjunto de la población susceptible frente a enfermar en general o con un cierto nivel de gravedad en particular:

eficacia = 1 − [P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma)] × [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].

En la expresión anterior, P(vacunada|enferma) es la proporción de población vacunada (quizá totalmente, quizá parcialmente) entre la población enferma (quizá con cierto nivel de gravedad, quizá de cierto grupo de edad); P(no vacunada|enferma) es lo mismo, pero para la proporción de población sin vacunar; P(vacunada) es la proporción de población vacunada (quizá totalmente, quizá parcialmente) frente al total de población susceptible (quizá en cierto grupo de edad); y P(no vacunada) es lo mismo, pero para la proporción de población sin vacunar.

Revisemos el cálculo para los casos en cuidados intensivos del otro día. Los números publicados de pacientes en cuidados intensivos son los acumulados durante los últimos dos meses y la tasa de vacunación en pauta completa de la población mayor de once años (de once años para abajo, la tasa de vacunación es cero) ha variado un poquito en este intervalo de tiempo (de alrededor del 86 % a alrededor del 89 %). La población mayor de once años sin dosis alguna de la vacuna ha pasado del 11 % al 9 %. Aunque quizá sería interesante modelar de alguna manera la evolución temporal de los casos, vamos a conformarnos, por brevedad, con tomar valores medios, conscientes de que fácilmente estamos introduciendo un error de algunos puntos porcentuales:

P(vacunada) ≅ 0,88;

P(no vacunada) ≅ 0,10.

Del último informe disponible en el momento de escribir estas líneas da que se han acumulado en un par de meses 331 pacientes vacunados con pauta completa en cuidados intensivos y 296 pacientes sin vacunar mayores de once años en cuidados intensivos. Esto da la siguiente relación en la que la población enferma se concreta en la que está en cuidados intensivos:

P(vacunada|enferma) ⁄ P(no vacunada|enferma) = 331 ⁄ 296.

Por lo tanto, la eficacia frente a acabar en cuidados intensivos puede aproximarse así:

eficacia ≅ 1 − (331 ⁄ 296) × (0,10 ⁄ 0,88) ≅ 0,87.

Esto es para el total de la población mayor de 11 años. Hay grupos de edad en los que podemos obtener una estimación de la eficacia mucho mayor que la que sacamos para el conjunto total.


Categorías: Matemáticas, Salud

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Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas

2021-11-24

Veamos cómo aplicar el teorema de Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la eficacia de una vacuna.

Digamos que tenemos una población en la que hay cierta proporción P(vacunada) de la población susceptible que está vacunada contra cierta enfermedad y cierta proporción P(no vacunada) = 1 − P(vacunada) que no está vacunada contra dicha enfermedad.

La enfermedad es potencialmente grave y muchos pacientes acaban en cuidados intensivos. La proporción de pacientes en cuidados intensivos frente a la población susceptible total es P(cuidados intensivos), pero veremos que no la necesitamos para los cálculos que vamos a realizar. De los pacientes en cuidados intensivos, una proporción P(vacunada|cuidados intensivos) está vacunada y una proporción P(no vacunada|cuidados intensivos) = 1 − P(vacunada|cuidados intensivos) está sin vacunar.

Aunque conocemos la proporción de vacunados y no vacunados en cuidados intensivos, no conocemos la proporción de pacientes en cuidados intensivos entre la población susceptible total vacunada y entre la población susceptible total sin vacunar. La primera es P(cuidados intensivos|vacunada) y la segunda es P(cuidados intensivos|no vacunada. El teorema de Bayes permite relacionar unas proporciones con otras:

P(cuidados intensivos|vacunada) = P(vacunada|cuidados intensivos) × P(cuidados intensivos) ⁄ P(vacunada).

P(cuidados intensivos|no vacunada) = P(no vacunada|cuidados intensivos) × P(cuidados intensivos) ⁄ P(no vacunada).

Podemos estimar la eficacia de la vacuna frente a acabar en cuidados intensivos de la siguiente manera:

eficacia = 1 − P(cuidados intensivos|vacunada) ⁄ P(cuidados intensivos|no vacunada) = 1 − [P(vacunada|cuidados intensivos) ⁄ P(no vacunada|cuidados intensivos)] × [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].

La proporción total de población susceptible en cuidados intensivos P(cuidados intensivos) se cancela convenientemente gracias a los milagros del álgebra elemental.

Ahora supongamos que la proporción de población susceptible vacunada es del 90 % y que de los pacientes que acaban en cuidados intensivos, el 40 % había recibido la vacuna. Estos números son una simplificación muy razonable de la realidad de cierta epidemia que sigue azotando hoy España. Tenemos la siguiente estimación de la vacuna o las vacunas a dicha enfermedad a día de hoy en España:

eficacia = 1 − [0,4 ⁄ (1−0,4)] × [(1−0,9) ⁄ 0,9] ≅ 0,9.

Los números utilizados, como tienen una única cifra significativa, no permiten dar una aproximación más fina. La fórmula empleada, por lo demás, es una necesidad matemática y es una insensatez peligrosa tratar de razonar con cualquiera que acepte los números introducidos pero no acepte el resultado obtenido.


Categorías: Matemáticas, Salud

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Internationaux de France de 2021 (2)

2021-11-23

La semana pasada se celebró el Internationaux de France de 2021 en la pista PoleSud de Grenoble. Se trata de la quinta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. La competición terminó el sábado con los largos de libre femenino, danza, libre masculino y parejas.

La siguiente prueba del Grand Prix es la Copa Rostelecom.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Internationaux de France de 2021 (1)

2021-11-20

Esta semana se celebra el Internationaux de France de 2021 en la pista PoleSud de Grenoble. Se trata de la quinta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. La competición comenzó el viernes con los cortos de libre femenino, danza, libre masculino y parejas.

La competición termina hoy con los largos de libre femenino, danza, libre masculino y parejas.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Trofeo NHK de 2021 (2)

2021-11-16

La semana pasada se celebró el Trofeo NHK de 2021 en el Estadio Nacional Yoyogi de Tokio. Se trata de la cuarta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. Compitieron en danza por España Sara Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición terminó el sábado con los largos de parejas, danza, libre femenino y libre masculino.

La siguiente prueba del Grand Prix es el Internationaux de France.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Trofeo NHK de 2021 (1)

2021-11-16

La semana pasada se celebró el Trofeo NHK de 2021 en el Estadio Nacional Yoyogi de Tokio. Se trata de la cuarta prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. Compitieron en danza por España Sara Hurtado y Kirill Khaliavin. La competición comenzó el viernes con los cortos de parejas, danza, libre femenino y libre masculino.

La competición terminó el sábado con los largos de parejas, danza, libre femenino y libre masculino.


Categorías: Actualidad, Deporte

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Gran Premio d'Italia de 2021 (2)

2021-11-07

Esta semana se celebra el Gran Premio d'Italia de 2021 en la pista Palavela de Turín. Se trata de la tercera prueba del Grand Prix de patinaje artístico sobre hielo de este año. La competición terminó el sábado con los cortos de libre femenino, danza, parejas y libre masculino.

La siguiente prueba del Grand Prix es el Trofeo NHK.


Categorías: Actualidad, Deporte

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