- Demostración de que dos más dos son cuatro
2024-08-21
El otro
día que
uno más uno es igual a dos mediante
los axiomas
de la aritmética de Peano. Hoy vamos a ver cómo podemos deducir,
también paso a paso mediante los axiomas de la aritmética de Peano,
que dos más dos es igual a a cuatro. Es fácil dar por sentado algo
tan elemental como la aritmética y olvidar que todo el edificio está
construido tediosamente a partir de principios fundamentales. Los
axiomas de Peano son algo potentes; es posible desarrollar la
aritmética a partir de axiomas más rudimentarios de forma no ya
tediosa, sino tediosísima.
- Demostración de que uno más uno es igual a dos
2024-08-19
Encontré un chiste que mostraba una pregunta de examen que pedía la
demostración de que uno más uno es igual a dos, lo que se suponía que
era una tarea formidable. En efecto, la dificultad de la tarea varía
mucho en función de cuáles son los axiomas de los que partimos y a qué
nos referimos con lo de que «uno» «más» «uno» «es igual a» «dos», y la
cosa puede ponerse a niveles de tener que reescribir parte
del Principia mathematica, pero si trabajamos con la aritmética
de Peano, la demostración es, afortunadamente, muy cortita.
- Por supuesto, subir el salario mínimo interprofesional tiende a reducir la cantidad en la que lo supera el salario medio
2024-02-18
Leí por ahí que la subida del salario mínimo interprofesional había
hecho que este valor redujera la distancia que lo separaba del salario
medio como si tal cosa fuera sorprendente. Por necesidad matemática,
si el salario mínimo aumenta, ha de crecer más que el salario medio.
Vamos a demostrarlo, por no complicarnos demasiado la vida, en el caso
en el que toda la fuerza laboral es a tiempo completo.
- La estadística ilumina, no engaña
2021-12-30
Es cierto que es posible utilizar la estadística de forma poco
rigurosa, con datos incorrectos o resultados incompletos con el fin de
abrumar y dar cierta verosimilitud a un argumento vacío, pero esto no
invalida la estadística, sino que pone en evidencia los peligros del
anumerismo.
- Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas (3)
2021-11-30
Otra vueltecita adicional a cómo aplicar el teorema de Bayes sobre
datos conocidos de salud pública para estimar la eficacia de una
vacuna.
- Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas (2)
2021-11-26
Una vueltecita adicional a cómo aplicar el teorema de Bayes sobre
datos conocidos de salud pública para estimar la eficacia de una
vacuna.
- Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas
2021-11-24
Veamos cómo aplicar el teorema de Bayes sobre datos conocidos de
salud pública para estimar la eficacia de una vacuna.
- Cómo estimar senos y cosenos mentalmente
2021-06-29
Una técnica para calcular senos y cosenos mentalmente de forma
fácil y rápida.
- Cómo estimar antilogaritmos decimales mentalmente
2021-06-25
Una técnica para calcular antilogaritmos decimales mentalmente de
forma fácil y rápida.
- Cómo estimar logaritmos decimales mentalmente
2021-06-23
Una técnica para calcular logaritmos decimales mentalmente de forma
fácil y rápida.
- El modelo epidemiológico SIR (20)
2020-06-16
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy vamos a ilustrar cómo varían las
soluciones en función de si el equilibrio endémico es un nodo atractor
o una espiral.
- El modelo epidemiológico SIR (19)
2020-06-13
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy vamos a ilustrar el
comportamiento del sistema para varios conjuntos de parámetros.
- El modelo epidemiológico SIR (18)
2020-05-26
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy vamos a ver que las soluciones
siempre convergen a algún punto de equilibrio (bien el equilibrio
endémico, bien el equilibrio libre de enfermedad).
- El modelo epidemiológico SIR (17)
2020-05-24
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy vamos a ver que las soluciones
del modelo siempre tienen sentido físico (es decir, no se producen
cantidades imposibles de susceptibles, infectados o la combinación de
ambos). Esto no significa necesariamente que el modelo tenga siempre
buena capacidad predictiva, ya que asume cosas que no siempre son
acertadas.
- El modelo epidemiológico SIR (16)
2020-05-20
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy investigaremos la naturaleza del
equilibrio endémico.
- El modelo epidemiológico SIR (15)
2020-05-12
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy investigaremos la naturaleza del
equilibrio libre de enfermedad.
- El modelo epidemiológico SIR (14)
2020-05-09
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy identificaremos los puntos fijos
o puntos de equilibrio del sistema referido a los susceptibles y los
infectados.
- El modelo epidemiológico SIR (13)
2020-05-04
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo extraer el ritmo
reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en
equilibrio.
- El modelo epidemiológico SIR (12)
2020-04-28
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo plantear el modelo
cuando hay nacimientos y defunciones, pero la población total se
mantiene estable.
- El modelo epidemiológico SIR (11)
2020-04-21
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo queda modificado el
modelo si en vez de trabajar con proporciones sobre la población
total, trabajamos con números absolutos de individuos.
- El modelo epidemiológico SIR (10)
2020-04-18
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos qué condición es
necesaria para la inmunidad de grupo en este modelo.
- El modelo epidemiológico SIR (9)
2020-04-12
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo se relacionan la
fase de crecimiento exponencial inicial de la epidemia y la fase de
decrecimiento exponencial final de la epidemia.
- El modelo epidemiológico SIR (8)
2020-04-11
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy estudiaremos cómo varían los
infectados cerca del final de la epidemia.
- El modelo epidemiológico SIR (7)
2020-04-06
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy estudiaremos el comportamiento de
la epidemia en el entorno del pico de contagios.
- El modelo epidemiológico SIR (6)
2020-03-23
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo calcular el
resultado final de la epidemia.
- El modelo epidemiológico SIR (5)
2020-03-22
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo estimar
el máximo número de infectados simultáneos, que es una magnitud
importante a comparar con la capacidad de los servicios sanitarios.
- El modelo epidemiológico SIR (4)
2020-03-20
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo relacionar las
variables sin necesidad de integrar en el tiempo.
- El modelo epidemiológico SIR (3)
2020-03-18
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo simplificar el
modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva
epidemia.
- El modelo epidemiológico SIR (2)
2020-03-17
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Hoy veremos cómo simplificar el
modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva
epidemia.
- El modelo epidemiológico SIR (1)
2020-03-16
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una
epidemia a lo largo del tiempo. Divide a la población en tres
compartimentos: susceptibles de padecer una enfermedad, pacientes
infectados y pacientes recuperados. La evolución temporal de la
población en cada uno de estos compartimentos queda modelada mediante
una ecuación diferencial ordinaria que es fácil de resolver con un
ordenador.
- La correlación no implica causa, pero sí puede ser evidencia de ella
2020-01-04
La falacia cum hoc ergo propter hoc consiste en en asumir
que si dos sucesos están correlacionados, necesariamente uno
de ellos es causa del otro. Que tal asunción es problemática se hace
evidente en la gran cantidad de correlaciones entre sucesos que
carecen de relación causal entre ellos. Como reacción a la falacia
cum hoc ergo propter hoc, se dice a menudo que la correlación
no implica causa. Aunque esto es cierto en general, la correlación sí
puede ser evidencia a favor de una relación causal.
- Sí hay soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes
2018-01-11
Leí esta mañana un articulillo divulgativo que afirmaba que las
ecuaciones de Navier-Stokes son irresolubles. Esto no es cierto.
Conocemos soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes en
muchos casos particulares, aunque no necesariamente para todos los
casos que nos interesan.
- Más vale maña que fuerza
2017-08-07
Sobre la solución de un divertimento matemático.
- Los bolsillos llenos de dinero
2017-07-13
Hace unos días recibí un mensaje en el que se me informaba de que
este mes de julio sería especial por tener 5 viernes, 5 sábados y 5
domingos. Veamos si eso es cierto.
- La distribución log-normal y los salarios
2017-02-25
La distribución de los salarios (es decir, la proporción de
trabajadores por rangos de salario) suele quedar bien modelada
mediante una distribución log-normal, quizá con una cola que sigue una
distribución de Pareto para el 3 % o el 1 % que más gana.
Como ilustración del concepto, en este artículo hacemos una
comparación visual rápida de los salarios españoles y el modelo
log-normal aplicado a ellos.
- Ahora toca ir contra los estibadores
2017-02-21
Los estibadores convocaron una huelga y, como otras veces, toca
apelar a la envidia motivada por unos supuestos privilegios con el fin
de seguir igualando a la baja los salarios españoles. Uno de los
argumentos usados para calentar los ánimos se basa en unos datos
salariales que llaman mucho la atención.
- Haber crecido de forma exponencial
2016-10-12
A menudo, al describir un aumento grande de alguna magnitud durante
un intervalo de tiempo dado, se dice que tal magnitud ha crecido de
forma exponencial
. Esta expresión, lamentablemente, suele estar
mal empleada en estos casos, ya que la naturaleza exponencial de un
crecimiento indica un comportamiento sostenido en el tiempo, no una
comparación entre dos estados puntuales.
- Teorema de Bayes
2016-03-27
El teorema de Bayes es un resultado de la teoría de la probabilidad
que es sencillo pero muy útil.
- Probabilidad conjunta frente a la probabilidad condicionada (2)
2016-03-26
La probabilidad conjunta y la probabilidad condicionada están
relacionadas mediante una expresión muy sencilla.
- Probabilidad conjunta frente a probabilidad condicionada
2016-03-25
Hemos presentado dos herramientas matemáticas que sirven para el
estudio de la probabilidad de dos o más sucesos: la probabilidad
conjunta y la probabilidad condicionada. Es fácil confundir una con
la otra debido a que describen conceptos similares.
- Probabilidad conjunta
2016-03-22
La probabilidad conjunta es la probabilidad de que sucedan varios
fenómenos simultáneamente.
- Probabilidad condicionada
2016-03-20
Hoy vamos a hablar de un caso particular de probabilidad: la
probabilidad condicionada.
- La interpretación frecuentista y la interpretación bayesiana de la probabilidad
2016-03-10
Hay varias interpretaciones de lo que es la probabilidad, pero
todas son compatibles entre sí a nivel matemático.
- La hipótesis nula en inferencia estadística
2016-03-08
La hipótesis nula es un tipo de hipótesis que se usa en inferencia
estadística.
- Día del Número Pi
2015-03-14
El 14 de marzo es el Día del Número Pi. La elección de la fecha se
debe a que coincide (escrita como mes 3, día 14) con las primeras
cifras de la expansión decimal del
número π, una de las constantes
más notablemente notables que hay.
- Cómo estimar potencias mentalmente
2014-01-11
Un método para estimar potencias reales de números reales positivos
mentalmente con dos cifras significativas.
- Cómo estimar la función exponencial mentalmente
2014-01-07
Un método para estimar la función exponencial mentalmente con dos
cifras significativas.
- Cómo estimar raíces cuadradas mentalmente
2013-11-30
Un método para estimar raíces cuadradas mentalmente con dos cifras
significativas.
- Cómo estimar logaritmos mentalmente
2013-11-27
Una técnica para calcular logaritmos mentalmente de forma
sistemática y rápida.
- A pesar de los malos titulares, sí sabemos cómo funciona una bicicleta
2013-08-09
Las bicicletas son unos ingenios mecánicos que pueden parecer
simples en un primer vistazo y muy sofisticados tras un estudio
exhaustivo. Por algún motivo, de vez en cuando aparecen artículos
de divulgación en los que se afirma que desconocemos los principios
que hacen funcionar una bicicleta, lo que es falso.
- 05/08/13: Día de Fibonacci
2013-08-05
Hoy es día 5 del mes 8 del año 2013, que abreviado es «13». Este
día es notablemente notable porque escrito el día, luego el
mes y luego el año es «5, 8, 13». Estos son los números quinto,
sexto y séptimo de la sucesión de Fibonacci. El número séptimo es
el 21, el número octavo es el 34 y el noveno número es el 55,
así que hay que mirar los relojes a las 21:34:55.
- Día del Número π
2013-03-14
El 14 de marzo es el Día del Número Pi, un día que celebra todo
lo relacionado con una de las constantes matemáticas favoritas del
mundo occidental: π, la razón entre
la longitud de una circunferencia y su diámetro en una geometría
plana euclídea.
- Día del número e
2013-02-27
El 27 de febrero es el Día del Número e,
pues la expresión decimal redondeada a tres cifras de este número es
2,72, similar «27—2», es decir, 27
de febrero.
- Forma rápida pero poco rigurosa de derivar la ecuación de Klein-Gordon
2013-01-10
La ecuación de Klein-Gordon es un modelo muy útil para predecir
el comportamiento cuántico relativista de algunas partículas
al igual que la ecuación de Schrödinger lo es en el límite
no relativista. Es de buena aplicación a la hora de describir
partículas escalares y pseudoescalares: bosones de espín nulo
como el pion. Igual que vimos cómo inventarnos sobre la marcha la
ecuación de Schrödinger, haremos lo propio con la ecuación
de Klein-Gordon. Las ideas fundamentales están explicadas en
el artículo sobre la ecuación de Schrödinger, así que hoy iremos
más deprisa.
- Forma rápida pero poco rigurosa de derivar la ecuación de Schrödinger
2013-01-09
La ecuación de Schrödinger es un modelo muy útil para predecir el
comportamiento cuántico de partículas no relativistas. Como ayuda a
la memoria, vamos a ver una manera muy rápida (pero nada rigurosa)
de derivarla mediante un poquito de análisis dimensional y el
conocimiento de la energía aplicado a una partícula no relativista.
- Introducción al mecanismo de Higgs
2012-07-07
Un modelo simplificado del mecanismo de Higgs que proporciona
masa a las partículas elementales de acuerdo con el modelo modelo
estándar de la física de partículas.
- ¿Puede romperse por su propio peso un cable tendido?
2012-05-21
Como continuación del artículo anterior sobre la curva catenaria
que describen con buena aproximación cables, cuerdas, hilos y
cadenas al colgar entre sus dos puntos extremos, veremos hoy en qué
condiciones uno de estos elementos no podría sostener su propio peso
y acabaría rompiéndose.
- El problema de la catenaria
2012-05-20
La catenaria es la curva que describe una cuerda inextensible a
tracción, perfectamente flexible a flexión y de sección constante
al colgar entre sus dos extremos sometida a su propio peso en un
campo gravitatorio uniforme. El problema de determinar la forma de
la catenaria es un clásico de la mecánica aplicada. Veamos cómo
resolverlo.
- A vueltas con las donaciones de plasma remuneradas
2012-04-20
En unas declaraciones recientes, el presidente de una compañía de
hemoderivados sugirió retomar las donaciones de plasma remuneradas.
Esto dio lugar a un intenso debate. Sin entrar en consideraciones
éticas, veamos dos posibles sistemas de remuneración al donante.
Ambos sistemas tienen problemas que los hacen desaconsejables.
- Día del Número π
2012-03-14
El 14 de marzo es el Día del Número Pi, un día que celebra todo
lo relacionado con una de las constantes matemáticas favoritas del
mundo occidental: π, la razón entre
la longitud de una circunferencia y su diámetro en una geometría
plana euclídea.
- Día del número e
2012-02-27
El 27 de febrero es el Día del Número e,
pues la expresión decimal redondeada a tres cifras de este número es
2,72, similar «27—2», es decir, 27
de febrero.
- ¿Nos mojamos menos cuando llueve si corremos? (3)
2012-02-02
En los anteriores artículos de esta serie, vimos un modelo
matemático muy sencillo para calcular cuánto se moja un sujeto bajo
la lluvia en unas condiciones muy idealizadas. En este artículo,
sofisticamos el modelo para calcular lo que pasa cuando la lluvia
viene de frente o de espalda.
- ¿Nos mojamos menos cuando llueve si corremos? (2)
2012-01-22
En el anterior artículo de esta serie, vimos un modelo matemático
muy sencillo para calcular cuánto se moja un sujeto bajo la lluvia en
unas condiciones muy idealizadas. En este artículo, sofisticamos el
modelo para calcular lo que pasa cuando la lluvia tiene una componente
que viene de lado.
- ¿Nos mojamos menos cuando llueve si corremos? (1)
2012-01-17
Supongamos que llueve y no llevamos un paraguas con el que cubrirnos.
Si corremos, nos mojamos menos que si vamos despacio, al menos si no nos
metemos en un charco. La pregunta es: ¿cuánto menos? Analicemos.
- Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (3)
2011-11-14
Las ecuaciones de Euler de la dinámica del fluido no viscoso son
un modelo matemático extraordinariamente útil y bello que tiene
grandes aplicaciones en campos como el diseño aerodinámico. En este
artículo veremos una forma muy común de plantear las ecuaciones:
la forma diferencial de no conservación.
- Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (2)
2011-11-13
Las ecuaciones de Euler de la dinámica del fluido no viscoso son
un modelo matemático extraordinariamente útil y bello que tiene
grandes aplicaciones en campos como el diseño aerodinámico. En este
artículo veremos una forma muy común de plantear las ecuaciones:
la forma diferencial de conservación.
- Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (1)
2011-10-22
Las ecuaciones de Euler de la dinámica del fluido no viscoso son un
modelo matemático extraordinariamente útil y bello que tiene grandes
aplicaciones en campos como el diseño aerodinámico.
- Derivada convectiva
2011-10-04
La derivada convectiva es una generalización de la derivación con
respecto del tiempo que se usa mucho en mecánica de medios continuos
(como la mecánica de fluidos).
- Descripción lagrangiana y descripción euleriana
2011-10-03
Las descripciones lagrangiana y euleriana son dos formas de ver la
mecánica de medios continuos. La descripción lagrangiana consiste en
hacer un seguimiento de las partículas materiales, mientras que la
descripción euleriana consiste en medir lo que pasa en puntos fijos
del espacio. Ambas descripciones son equivalentes y a veces una es
más cómoda de usar que la otra.
- Teorema del transporte de Reynolds
2011-09-30
El teorema del transporte de Reynolds es una expresión matemática
muy útil que relaciona integrales y derivadas y tiene grandes usos
en la mecánica de medios continuos.
- Ondas planas y relaciones de dispersión
2011-09-25
Este artículo sirve de introducción a los conceptos de onda plana y
las relaciones de dispersión que cómo están relacionados el número de
onda y la pulsación.
- El acertijo de la edad del abuelo
2011-06-01
Un pequeño acertijo en el que hay que adivinar la edad de una
persona y la de su abuelo.
- Braquistócrona
2011-04-19
El problema de la braquistócrona es el de encontrar el camino más
rápido entre dos puntos que puede seguir un cuerpo forzado a seguir
dicho camino en presencia de un campo gravitatorio uniforme y constante
y en ausencia de fricción. Este problema, propuesto por Johann
Bernoulli a finales del siglo XVII, supuso un excelente estímulo
para el desarrollo de las técnicas del cálculo infinitesimal y el
cálculo de variaciones.
- Día del Número π
2011-03-14
El 14 de marzo es el Día del Número Pi, un día fenomenal en
honor de la que posiblemente es la más notablemente notable
constante matemática: π, la razón entre
la longitud de una circunferencia y su diámetro en una geometría
euclídea.
- Día del Número e
2011-02-27
Hoy es, un año más, 27 de febrero, Día del Número e: con tres cifras significativas, e ≈2,72.
- De la elección del orden de los apellidos
2010-11-08
Se ha montado algo de revuelo por un nuevo proyecto de ley del
Registro Civil que establece, entre otras cosas, un nuevo sistema de
asignación del orden de los apellidos cuando no se pide un cierto
orden de forma explícita. Veamos qué consecuencias tiene esto.
- 10-10-10
2010-10-10
El 10 de octubre de 2010 es un día notablemente notable por
sus propiedades numéricas.
- Demostración de un teorema en Futurama
2010-08-22
Vamos a hablar del décimo episodio de la temporada más reciente
de la teleserie de animación Futurama (The Prisoner
of Benda, emitido por primera vez el 19 de agosto de 2010).
Este episodio es muy interesante porque incluye una demostración
constructiva relacionada con las permutaciones cortesía del guionista
y matemático Ken Keeler.
- El juego de las cifras sumadas
2010-06-19
Un sencillo y curioso resultado matemático propuesto por un
compañero como respuesta al juego de las cifras restadas.
- Día de π
2010-03-14
El 14 de marzo es el Día de π,
una celebración en honor de la notabilísima constante que es la
razón de la circunferencia entre el diámetro en una geometría
euclídea.
- Cómo calcular el día de la semana
2010-03-10
Con un poco de entrenamiento, casi cualquier persona
puede conocer el día de la semana de cualquier fecha del calendario
gregoriano.
- Día del Número e
2010-02-27
Hoy es 27 de febrero (27 del mes 2), el Día del Número
e: con 3 cifras significativas, e ≈ 2,72.
- Teoría de juegos en el parque acuático
2009-08-23
¿Los clientes premium de un parque de ocio esperan colas
mucho más cortas? ¿Cómo se ven afectados los clientes convencionales
por el número de clientes premium? Hagamos unas cuentas para
descubrirlo.
- El juego de las cifras restadas
2009-07-05
Cuando era pequeño, se me ocurrió un juego matemático curioso. Aquí
lo enuncio como curiosidad.
- Partícula autosemejante
2009-06-24
Un poquito de física matemática recreativa es bueno para el cerebro.
Aquí está, como divertimento para los aficionados a estas cosas,
una solución autosemejante de la ecuación de Schrödinger.
