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El modelo epidemiológico SIR (15)

2020-05-12

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

• cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
• el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
• cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
• cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
• cómo calcular el resultado final de la epidemia;
• cómo se comporta la epidemia en el entorno del máximo de infectados simultáneos;
• cómo varían los infectados cerca del final de la epidemia;
• cómo se relacionan la fase de crecimiento exponencial inicial de la epidemia y la fase de decrecimiento exponencial final de la epidemia;
• qué condición es necesaria para la inmunidad de grupo;
• cómo queda modificado el modelo si en vez de trabajar con proporciones sobre la población total, trabajamos con números absolutos de individuos;
• cómo plantear el modelo cuando hay nacimientos y defunciones, pero la población total se mantiene estable;
• cómo extraer el ritmo reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en equilibrio;
• los puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema referido a los susceptibles y los infectados.

Hoy investigaremos la naturaleza del equilibrio libre de enfermedad.

Recordemos que estamos estudiando los puntos fijos del siguiente sistema:

dS ⁄ dt = μ − (1+μ) R₀ S I − μ S;

dI ⁄ dt = (1+μ) R₀ S I − (1+μ) I.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

• La variable dependiente S es la proporción susceptible de la población total.
• La variable dependiente I es la proporción de la población infectada.
• La variable independiente t es el tiempo hecho adimensional de forma que la población infectada pasa a ser población recuperada a un ritmo por unidad de tiempo adimensional igual a la propia población infectada. El primer artículo sobre los puntos fijos explica esto.
• El símbolo μ denota tanto la natalidad como la mortalidad, que son iguales.
• El símbolo R₀ es el ritmo reproductivo básico (los nuevos contagios que provoca el caso inicial).

El equilibrio libre de enfermedad es el siguiente punto:

S = 1, I = 0.

Las derivadas temporales se anulan en este punto. La matriz jacobiana tiene los autovalores:

• autovalor −μ con dirección ∆I = 0 («horizontal»).
• autovalor (1+μ) (R₀−1) con dirección ∆I = −[[(1+μ) R₀−1] ⁄ [(1+μ) R₀] ∆S («diagonal»).

Veamos qué sucede cuando μ > 0, que es la situación interesante con natalidad y mortalidad no nulas. En esta situación, el primer autovalor es siempre positivo independientemente de R₀, mientras que el segundo cambia de signo al variar R₀. En función de R₀, el punto de equilibrio es como sigue:

• Cuando R₀ < 1, el punto de equilibrio es estable tanto en la dirección «horizontal» como en la dirección «diagonal»: se trata de un nodo atractor. Si se parte de una situación con unos pocos infectados, el sistema decae exponencialmente de vuelta al equilibrio libre de enfermedad y no es posible la epidemia. Tiene sentido: cada persona infectada provoca menos de un contagio antes de estar infectada, con lo que la enfermedad se extingue.
• Cuando R₀ > 1, el punto de equilibrio es estable en la dirección «horizontal», pero inestable en la dirección «diagonal»: se trata de un punto silla. Además de esto, se ve que la dirección «diagonal», que es la inestable, se adentra en el dominio físico (S+I≤1, S≥0, I≥0) para cualquier R₀ > 1. Si se parte de una situación con unos pocos infectados, la epidemia crece inicialmente de forma exponencial. Tiene sentido: al menos al principio, cada persona infectada provoca más de un contagio antes de dejar de estar infectada, con lo que la epidemia se extiende.
• Cuando R₀ = 1, el punto de equilibrio es estable en la dirección «horizontal» y linealmente neutro en la dirección «diagonal». Si no nos limitamos al desarrollo lineal, vemos que el punto es completamente estable desde dentro del dominio físico: no es posible la epidemia. Si se parte de una situación con unos pocos infectados, el sistema converge muy lentamente al equilibrio libre de enfermedad (la distancia a este punto tiende a ser proporcionalmente inversa al tiempo transcurrido debido a que el término no nulo es cuadrático).

Categorías: Matemáticas, Salud

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