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El modelo epidemiológico SIR (13)

2020-05-04

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

• cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
• el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
• cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
• cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
• cómo calcular el resultado final de la epidemia;
• cómo se comporta la epidemia en el entorno del máximo de infectados simultáneos;
• cómo varían los infectados cerca del final de la epidemia;
• cómo se relacionan la fase de crecimiento exponencial inicial de la epidemia y la fase de decrecimiento exponencial final de la epidemia;
• qué condición es necesaria para la inmunidad de grupo;
• cómo queda modificado el modelo si en vez de trabajar con proporciones sobre la población total, trabajamos con números absolutos de individuos;
• cómo plantear el modelo cuando hay nacimientos y defunciones, pero la población total se mantiene estable.

Hoy veremos cómo extraer el ritmo reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en equilibrio.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la población susceptible S(t), la población infectada I(t) y la población recuperada (inmune) R(t) mediante el siguiente sistema dinámico:

dS ⁄ dt = μ N − β S I ⁄ N − μ S;

dI ⁄ dt = β S I ⁄ N − γ I − μ I;

dR ⁄ dt = γ I − μ R.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

• El símbolo N denota la población total, S + I + R, que se mantiene constante. Como anteriormente, como la población es constante, es muy cómodo tomar N = 1 y trabajar con proporciones de la población total.
• El símbolo μ denota tanto la natalidad como la mortalidad, que son iguales.
• El símbolo β denota la tasa de infección. En anteriores artículos era el ritmo reproductivo básico dividido entre el tiempo infeccioso promedio, pero ahora los nacimientos y las defunciones complican un poco la interpretación.
• El símbolo γ denota la tasa de recuperación de los infectados. En anteriores artículos era el inverso del tiempo infeccioso promedio, pero ahora las defunciones complican un poco la interpretación.

El ritmo reproductivo básico es el número de contagios que genera el primer sujeto infectado. En este modelo, hablar del primer sujeto infectado es lo mismo que hablar de S(0) ≅ N, I(0) ≪ N, R(0) = 0. Linealicemos el comportamiento de los infectados alrededor de este estado inicial:

dI ⁄ dt ≅ β I − γ I − μ I.

Hagamos un seguimiento exclusivo del primer infectado. Para ello, tenemos que ignorar el término de nuevos contagios β I. Con abuso de notación, nuestro «paciente cero» evoluciona cumpliendo la ley siguiente:

dI ⁄ dt ≅ −γ I − μ I.

Con esta ecuación, la evolución a partir de I(0) es como sigue:

I(t) ≅ I(0) e^{−(γ+μ) t}.

Así decae esta visión del caso inicial que tiene el modelo. Esta infección inicial genera β I nuevos contagios por unidad de tiempo, con lo que los nuevos contagios generados por la infección inicial son

R₀ I(0) = ∫_0≤t<∞β I(t) dt = [β ⁄ (γ+μ)] I(0).

Por lo tanto, el ritmo reproductivo básico es

R₀ = β ⁄ (γ+μ).

La generalización de este razonamiento es el método de la matriz de próxima generación, por cierto, que sirve para asignar un ritmo reproductivo básico a modelos compartimentales de forma muy general.

Categorías: Matemáticas, Salud

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