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El modelo epidemiológico SIR (3)

2020-03-18

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia. Quedó pendiente un detalle sobre el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial.

Recordemos que, al comienzo de una nueva epidemia para la que no hay inmunidad y, por lo tanto, toda la población es susceptible, la proporción de personas infectadas I(t) en función del tiempo transcurrido t queda aproximada de la siguiente manera:

dI ⁄ dt ≅ [(R0−1) ⁄ tII.

El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

En un intervalo de tiempo t, la cantidad de infectados crece proporcionalmente a sí misma de la siguiente manera:

I(t+∆t) ⁄ I(t) = e[(R0−1) ⁄ tI] ∆t.

Si trazamos la curva de la proporción de infectados frente al tiempo con una escala logarítmica para la proporción de infectados y esta curva queda bien aproximada por una recta, podemos introducir la pendiente de dicha recta en la expresión anterior para deducir el valor de (R0−1) ⁄ tI.

Evolución temporal de los infectados en una epidemia (escala
     logarítmica).
Evolución temporal de los infectados en una epidemia (escala logarítmica).

Por ejemplo, si nos sale que el número de infectados crece un 33 % diario, sabemos que 1,33 = e[(R0−1) ⁄ tI] 1 día, con lo que R0−1) ⁄ tI = log(1,33) ⁄ día. La siguiente gráfica muestra la relación:

Factor de crecimiento exponencial frente a la tasa diaria de
     crecimiento del número de infectados.
Factor de crecimiento exponencial frente a la tasa diaria de crecimiento del número de infectados.

Lo anterior es para los infectados. A menudo, la información que está disponible es la cantidad acmulada de casos, que sería la suma del número de infectados y el número de recuperados (inmunes y fallecidos) si todos los casos estuvieran detectados. Con toda la incertidumbre presente, una aproximación a partir de los casos detectados acumulados es razonable.


Categorías: Matemáticas, Salud

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