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El modelo epidemiológico SIR (7)

2020-04-06

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

Hoy estudiaremos el comportamiento de la epidemia en el entorno del pico de contagios.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tIS I;

dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tIS I − (1 ⁄ tII;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ tII.

El parámetro R0 es el ritmo reproductivo básico: el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible. El parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

De acuerdo con el modelo elemental SIR, el número de infectados simultáneos crece inicialmente hasta alcanzar un máximo y, después, cae hasta anularse. Este máximo se produce cuando transcurre un tiempo tm desde el instante inicial t = 0; de acuerdo con lo visto hace unos días, las variables quedan así en el máximo:

S(tm) = 1 ⁄ R0;

I(tm) = I(0) + S(0) − 1 ⁄ R0 − (1 ⁄ R0) log[R0 S(0)];

R(tm) = (1 ⁄ R0) log[R0 S(0)] + R(0).

Los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor nos permiten examinar el comportamiento del sistema en el entorno del máximo de infecciones:

S(t) ≅ S(tm) + (dS ⁄ dt)(tm) (ttm) = S(tm) [1 − (R0 ⁄ tII(tm) (ttm)].

I(t) ≅ I(tm) + (1 ⁄ 2) (d2I ⁄ dt2)(tm) (ttm)2 = I(tm) {1 − (1 ⁄ 2) (R0 ⁄ tI)2 S(tm) [I(tm)]2 (ttm)2};

R(t) ≅ R(tm) + (dR ⁄ dt)(tm) (ttm) = R(tm) + (1 ⁄ tII(tm) (ttm).

Tanto los susceptibles como los recuperados quedan aproximados mediante una recta; los infectados quedan aproximados mediante una parábola. Si tomamos más términos del desarrollo en serie, podemos deducir más información:


Categorías: Matemáticas, Salud

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