…esto no es un subtítulo…
2020-05-09
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:
Hoy identificaremos los puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema referido a los susceptibles y los infectados.
Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la población susceptible S(t), la población infectada I(t) y la población recuperada (inmune) R(t) mediante el siguiente sistema dinámico:
dS ⁄ dt = μ N − β S I ⁄ N − μ S;
dI ⁄ dt = β S I ⁄ N − γ I − μ I;
dR ⁄ dt = γ I − μ R.
Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:
Para estudiar cualitativamente cómo se comporta el modelo en función de los parámetros, podemos tomar N como unidad de población (de manera N = 1 en las ecuaciones y trabajamos con proporciones sobre la población total como en los primeros artículos) y γ−1 como unidad de tiempo (de manera que γ = 1 en las ecuaciones). Este escalado de los parámetros es razonable en todas las situaciones físicamente posibles salvo en el caso degenerado de una enfermedad sin posible recuperación (γ = 0, que sería el modelo SI, sin estado R). Las ecuaciones quedan un poco más sencillas:
dS ⁄ dt = μ − (1+μ) R0 S I − μ S;
dI ⁄ dt = (1+μ) R0 S I − (1+μ) I.
Como S + I + R = 1, el modelo es realmente bidimensional y no tridimensional, así que hemos obviado la variable R por ser redundante.
Las ecuaciones tienen dos puntos fijos en los que ni S ni I varían:
S = 1, I = 0;
S = 1 ⁄ R0, I = [μ ⁄ (1+μ)] [(R0−1) ⁄ R0].
El primer punto fijo es el equilibrio libre de enfermedad: toda la población permanece infectada. El segundo punto fijo es el equilibrio endémico: los nuevos susceptibles que tras nacer se infectan equilibran las muertes y recuperaciones. En los próximos artículos exploraremos la naturaleza de estos puntos fijos; hoy es suficiente localizarlos.
El equilibrio libre de enfermedad no se mueve con los parámetros. El equilibrio endémico sí se mueve, pero es evidente que lo hace en la siguiente recta:
I = [μ ⁄ (1+μ)] (1−S).
El equilibrio endémico solamente tiene sentido físico cuando el ritmo reproductivo es igual o mayor que la unidad. Los susceptibles parten de ser toda la población a anularse cuando el ritmo reproductivo básico tiende a infinito. Los infectados parten de ser nulos a ser [μ ⁄ (1+μ)] cuando el ritmo reproductivo básico tiende a infinito.
Equilibrio endémico frente al ritmo reproductivo básico para
cierto valor de la tasa de natalidad y mortalidad.
Lugar geométrico del equilibrio endémico para distintos valores de
la tasa de natalidad y mortalidad.
Categorías: Matemáticas, Salud
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