Los bolsillos llenos de dinero

…esto no es un subtítulo…

Los bolsillos llenos de dinero

2017-07-13

Hace unos días recibí un mensaje en el que se me informaba de que este mes de julio sería especial por tener 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. El siguiente calendario lo justificaba:

Calendario de julio de 2017 de acuerdo con el mensaje.
lu	ma	mi	ju	vi	sá	do
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Siempre de acuerdo con el mensaje, tal situación, conocida como los bolsillos llenos de dinero, solamente se da una vez cada 823 años. De difundir el mensaje, recibiría una sorpresa económica; de no hacerlo, el feng shui chino dictaminaba que podría perder una gran oportunidad. Lamentablemente, el actual mes de julio no es tan excepcional como lo pinta el mensaje, así que tendré que ganar dinero mediante técnicas más convencionales. He aquí las razones:

Por qué el julio afortunado de los de bolsillos llenos de dinero sucede mucho más frecuentemente que una vez cada 823 años

Para que un mes de julio tenga 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos, hace falta que el día 1 caiga en viernes, ya que el mes tiene 31 días.
El día de la semana en el que empieza julio avanza de 1 en 1 (módulo 7) con cada año normal: si un año cae en viernes, el año siguiente cae en sábado; si un año cae en domingo, el año siguiente cae en lunes.
Si el año es bisiesto, el incremento es de 2 días: si el año pasado el 1 de julio fue martes y este año es bisiesto, el 1 de julio cae ahora en jueves.
Los años bisiestos son por lo general 1 de cada 4, pero con excepciones cuando cambia la cifra de las centenas.
Fuera de los casos excepcionales de los años bisiestos, el día de la semana en el que cae el 1 de julio va cambiando de un año para otro con un periodo igual al mínimo común múltiplo de los 4 años que separan los años bisiestos y el número de días que tiene la semana (7): 28 años.
Durante el periodo de 28 años, hay 4 ocasiones en las que el día 1 cae en jueves. El próximo julio de los de bolsillos llenos de dinero será el de 2022.
Por lo tanto, el mes de julio del mensaje no es tan especial: en vez de repetirse cada 823 años, lo hace con un intervalo variable que se repite cada 28 años y que tiene un promedio de 7 años.

Es fácil verificar los números anteriores con la ayuda de un calendario. Las comprobaciones exhaustivas, por otra parte, son inhumanas, así que vamos a demostrar que los cálculos son correctos. En primer lugar, que el patrón de día de la semana del 1 de julio tiene un periodo de 28 años se deduce de la manera siguiente:

El año bisiesto se repite cada b años (b = 4).
La semana tiene s días (s = 7).
Sin pérdida de generalidad, analizamos lo que sucede en los años bisiestos. El día de la samana en el que empieza el mes cuando es año bisiesto avanza b+1 (mod s).
Si empezamos a contar en cierto año bisiesto en el que el mes empieza en el día s₀, el periodo p en ciclos de años bisiestos es el número más pequeño para el que el día de la samana vuelve a ser el inicial: s₀ + p (b+1) ≡ s₀ (mod s), con mcm(x,y) ≡ mínimo común múltiplo de x e y. De esto se deduce que p = mcm(b+1,s) ⁄ (b+1).
El periodo en años es, naturalmente, (p b) = mcm(b+1,s) b ⁄ (b+1).
Con b = 4 y s = 7, p = 7 y (p b) = 28.

En cuanto al número de veces que el mes es de los de bolsillos llenos de dinero dentro del periodo, basta repetir el mismo proceso para los demás años que hay entre años bisiestos:

En el periodo de p b años hay un año bisiesto con un mes de julio de los de bolsillos llenos de dinero.
En el mismo periodo hay un año posterior al bisiesto con un mes de julio de los de bolsillos llenos de dinero.
En el mismo periodo hay un año posterior al posterior al bisiesto con un mes de julio de los de bolsillos llenos de dinero.
…
En total, esta cuenta puede hacerse b veces.
Por lo tanto, en el periodo de p b hay b meses de julio de los de bolsillos llenos de dinero.

Pero hay más

Hay un problema adicional con todo esto: el 1 de julio cayó en sábado, no en viernes, así que el actual mes de julio no cumple la peculiaridad que explica el mensaje. Caramba con el feng shui…

Calendario auténtico de julio de 2017.
lu	ma	mi	ju	vi	sá	do
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Categorías: Fechas, Matemáticas

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