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Forma rápida pero poco rigurosa de derivar la ecuación de Schrödinger

2013-01-09

La ecuación de Schrödinger es un modelo muy útil para predecir el comportamiento cuántico de partículas no relativistas. Como ayuda a la memoria, vamos a ver una manera muy rápida (pero nada rigurosa) de derivarla mediante un poquito de análisis dimensional y el conocimiento de la energía aplicado a una partícula no relativista. El plan de ataque es el siguiente:

  1. expresar la energía en función de la cantidad de movimiento y la posición (a través de la energía potencial);
  2. expresar una función de onda plana con la energía y la cantidad de movimiento como parámetros (en lugar de la frecuencia y el número de onda);
  3. relacionar la energía y la cantidad de movimiento con la función de onda mediante operadores diferenciales;
  4. sustituir la energía y la cantidad de movimiento de la forma funcional de la energía obtenida en el primer punto mediante los operadores diferenciales del punto anterior.

Todo esto hay que aderezarlo con mucho abuso de notación.

Expresión de la energía total

La energía E de una partícula es igual a la suma de su energía cinética T y su energía potencial V:

E = T + V.

Los detalles de la energía potencial no nos interesan ahora, pero sí cómo podemos relacionar la energía cinética con otras dos variables importantes en el mundo no relativista: la cantidad de movimiento p y la masa m. La relación es bien conocida:

T = (p ⋅ p) ⁄ (2 m).

Por lo tanto, la energía total queda así expresada:

E = (p ⋅ p) ⁄ (2 m) + V.

En un sistema Hamiltoniano (conservativo), esta energía se conserva. La energía potencial depende de la posición espacial x; la escribiremos en adelante como V(x).

Ondas planas

Ahora vamos a inventarnos una solución de onda plana que habrá de verificar nuestra ecuación de Schrödinger. Si hacemos uso de las propiedades de la exponencial compleja, nos queda esta expresión tan compacta para la amplitud Ψ de una onda plana de frecuencia ω y número de onda k en cada instante de tiempo t y punto del espacio x:

Ψ(t,x) = Ψ0 ei (k ⋅ x − ω t).

Si pintamos la parte real o la parte imaginaria de esta expresión, nos sale una onda plana sinusoidal que viaja en la dirección de k.

Vamos a forzar la relación entre la frecuencia ω y la energía E y entre el número de onda k y la cantidad de movimiento p. La frecuencia y la energía son magnitudes escalares, mientras que el número de onda y la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales, así que las relaciones salen muy bien. Además de esto, el producto de la energía y el tiempo tiene las mismas unidades de medida que el producto de la cantidad de movimiento y la posición: dimensiones de acción. Para que el argumento de la exponencial compleja sea adimensional, dividimos la energía y la cantidad de movimiento por una constante con dimensiones de acción: , la constante de Planck reducida. Tenemos esto:

ω = E ⁄ 
k = p ⁄ .

La forma funcional de la onda plana queda como sigue:

Ψ(t,x) = Ψ0 e(i⁄)(p ⋅ x − E t).

Recuperar la energía y la cantidad de movimiento a partir de la onda

Partimos de una función de onda Ψ(t,x) y queremos recuperar la energía E y la cantidad de movimiento p. Como la onda plana es una exponencial, podemos hacerlo fácilmente mediante derivadas. Si tomamos la derivada temporal, nos queda algo proporcional a la energía:

(∂ ⁄ ∂tΨ = −(i ⁄ E Ψ.

Si tomamos el gradiente, nos queda algo proporcional a la cantidad de movimiento:

∇ Ψ = (i ⁄ p Ψ.

Con esto, la energía total es el siguiente operador diferencial:

E = i  ∂ ⁄ ∂t.

Algo similar queda para la cantidad de movimiento:

p = −i  ∇.

El cuadrado de la cantidad de movimiento está relacionado con la laplaciana:

p ⋅ p = −2 ∇ ⋅ ∇ = −2 ∇2.

Todo junto: la ecuación de Schrödinger

Multipliquemos la forma funcional de la energía y la función de onda. Queda esto:

E Ψ = [p ⋅ p ⁄ (2m)] Ψ + V(xΨ.

Ahora intruduzcamos las equivalencias entre la energía y la cantidad de movimiento y los operadores diferenciales que vimos anteriormente. Queda lo siguiente:

 (∂ ⁄ ∂tΨ = −[2 ⁄ (2m)] ∇2 Ψ + V(xΨ.

Esta ecuación es la ecuación de Schrödinger. Derivarla de esta manera no es riguroso en absoluto, pero sí un ejercicio de ayuda a la memoria que puede resultarle útil a un estudiante.


Categorías: Física, Matemáticas

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