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Día del número e

2013-02-27

El 27 de febrero es el Día del Número e, pues la expresión decimal redondeada a tres cifras de este número es 2,72, similar a «27—2» (primero el día, luego el mes) y a «2—27» (primero el mes, luego el día), es decir, 27 de febrero. El número e es un número notablemente notable y este día está para celebrarlo.

Hace dos años, vimos cómo expresar el número e mediante el límite

e ≡ limn→∞(1 + 1 ⁄ n)n.

Ahora, vamos a ver algunas propiedades de la función exponencial, el resultado de elevar el número e a un exponente variable al que llamaremos x: ex. Esta función es su propia derivada y, por lo tanto, su propia primitiva (hasta una constante aditiva). Recordemos el viejo chiste:

La función exponencial ex está en una fiesta de objetos matemáticos. Como es muy tímida, se mantiene apartada de los demás. El número π, viejo amigo de ex, se percata de la situación de su compañera y se acerca a ella con la intención de animarla. Le dice:

—¡Intégrate!

La exponencial ex responde:

—¿Para qué, si voy a quedarme igual?

Matemáticamente, tenemos

d ⁄ dx ex = ex.

De esto se deduce, naturalmente, que

∫ex dx = ex

(más una constante aditiva). De ahí el chiste.

Podemos deducir la propiedad de la derivada de la función exponencial muy fácilmente mediante las propiedades de las potencias, la expresión de e mediante la fórmula del interés compuesto y el binomio de Newton. En efecto,

d ⁄ dx ex = limh→0(ex+h − ex) ⁄ h = limh→0ex (eh − 1) ⁄ h = ex limh→0(eh − 1) ⁄ h.

Deducimos que la derivada de la función exponencial es una constante multiplicada por la propia función exponencial. Veamos lo que vale esta constante:

limh→0(eh − 1) ⁄ h = limh→0{limn→∞[(1 + 1 ⁄ n)h]n − 1} ⁄ h = limh→0[limn→∞(1 + 1 ⁄ n)hn − 1] ⁄ h = limh→0[limm→∞(1 + h ⁄ m)m − 1] ⁄ h = limh→0[limm→∞1 + m h ⁄ m + (m2 − mh2  ⁄ (2! m2) + … − 1] ⁄ h = limh→0[limm→∞h + (1 − 1 ⁄ mh2 ⁄ 2! + …] ⁄ h = limh→0limm→∞1 + (1 − 1 ⁄ mh ⁄ 2! + … = 1.

Así que la constante es 1 y deducimos que

d ⁄ dx ex = ex.

La idea de esta prueba es similar a la de la expresión del número e en forma de serie del año pasado.


Categorías: Fechas, Matemáticas

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