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Día del número e

2013-02-27

El 27 de febrero es el Día del Número e, pues la expresión decimal redondeada a tres cifras de este número es 2,72, similar a «27—2» (primero el día, luego el mes) y a «2—27» (primero el mes, luego el día), es decir, 27 de febrero. El número e es un número notablemente notable y este día está para celebrarlo.

Hace dos años, vimos cómo expresar el número e mediante el límite

e ≡ lim_n→∞(1 + 1 ⁄ n)ⁿ.

Ahora, vamos a ver algunas propiedades de la función exponencial, el resultado de elevar el número e a un exponente variable al que llamaremos x: e^x. Esta función es su propia derivada y, por lo tanto, su propia primitiva (hasta una constante aditiva). Recordemos el viejo chiste:

Matemáticamente, tenemos

d ⁄ dx e^x = e^x.

De esto se deduce, naturalmente, que

∫e^x dx = e^x

(más una constante aditiva). De ahí el chiste.

Podemos deducir la propiedad de la derivada de la función exponencial muy fácilmente mediante las propiedades de las potencias, la expresión de e mediante la fórmula del interés compuesto y el binomio de Newton. En efecto,

d ⁄ dx e^x = lim_h→0(e^x+h − e^x) ⁄ h = lim_h→0e^x (e^h − 1) ⁄ h = e^x lim_h→0(e^h − 1) ⁄ h.

Deducimos que la derivada de la función exponencial es una constante multiplicada por la propia función exponencial. Veamos lo que vale esta constante:

lim_h→0(e^h − 1) ⁄ h = lim_h→0{lim_n→∞[(1 + 1 ⁄ n)^h]ⁿ − 1} ⁄ h = lim_h→0[lim_n→∞(1 + 1 ⁄ n)^hn − 1] ⁄ h = lim_h→0[lim_m→∞(1 + h ⁄ m)^m − 1] ⁄ h = lim_h→0[lim_m→∞1 + m h ⁄ m + (m² − m) h²  ⁄ (2! m²) + … − 1] ⁄ h = lim_h→0[lim_m→∞h + (1 − 1 ⁄ m) h² ⁄ 2! + …] ⁄ h = lim_h→0lim_m→∞1 + (1 − 1 ⁄ m) h ⁄ 2! + … = 1.

Así que la constante es 1 y deducimos que

d ⁄ dx e^x = e^x.

La idea de esta prueba es similar a la de la expresión del número e en forma de serie del año pasado.

Categorías: Fechas, Matemáticas

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