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Día del número e

2012-02-27

El 27 de febrero es el Día del Número e, pues la expresión decimal redondeada a tres cifras de este número es 2,72, similar «27—2», es decir, 27 de febrero. El número e es un número notablemente notable y este día está para celebrarlo.

En una fecha tan especial, ¿qué mejor manera que hacer unas pequeñas cuentas relacionadas con el número e? Este artículo está dedicado a los incautos lectores que tienen una pequeña base elemental de cálculo suficiente para trabajar con sucesiones y series de números reales y que tienen las habilidades algo oxidadas de no usarlas, pero que pueden recuperar el tono cerebral con un poquito de ejercicio.

El año pasado vimos que podemos expresar el número e de la siguiente manera heredada del estudio del interés compuesto:

e ≡ lim_n→∞(1 + 1 ⁄ n)ⁿ.

Este año vamos a estirar un poco los deditos y a ver otra manera que es extremadamente útil y muy conocida. En primer lugar, expandamos el término
x_n ≡ (1 + 1 ⁄ n)ⁿ,
tal que la sucesión de términos x_n tiene como límite el número e de acuerdo con la anterior definición. Podemos hacer esta expansión tan facilita:
x_n = 1 + [n ⁄ 1!] (1 ⁄ 2) + [n (n − 1) ⁄ 2!] (1 ⁄ n)² + [n (n − 1) (n − 2) ⁄ 3!] (1 ⁄ n)³ + … + [n (n − 1) (n − 2) … (n − {n − 1}) ⁄ n!] (1 ⁄ n)ⁿ.
No es más que la famosa expansión del binomio de Newton aplicada a la expresión de x_n. Para cada sumando, hay en el numerador entre corchetes tantos factores como potencias de 1 ⁄ n hay después, así que podemos dividir cada uno de los factores por n y dejar una expresión que hace las cosas un poquito más evidentes:
x_n = 1 + (1 ⁄ 1!) + (1 ⁄ 2!) (1 − 1 ⁄ n) + (1 ⁄ 3!) (1 − 1 ⁄ n) (1 − 2 ⁄ n) + … + (1 ⁄ n!) (1 − 1 ⁄ n) (1 − 2 ⁄ n) … (1 − {n − 1} ⁄ n).
Para un valor fijo de n, cada sumando es más pequeño que el anterior, mientras que un sumando dado para n es más pequeño que el mismo sumando para n + 1. Ahora bien, el incauto lector puede comprobar rápidamente que todos los sumandos están acotados por arriba y que, de hecho, la sucesión de términos x_n está también acotada superiormente y converge desde abajo a cierto valor límite que hemos tomado como el número e. El sumando k-ésimo converge por debajo a este valor cuando n tiende a infinito:
1 ⁄ k!,
así que tenemos la siguiente cota superior de x_n:
x_n ≤ 1 + 1 ⁄ 1! + 1 ⁄ 2! + 1 ⁄ 3! + … + 1 ⁄ n!.
Por otra parte, como todos los sumandos son positivos, podemos truncar la suma de x_n en k ≤ n sumandos y obtener una cota inferior:
x_n ≥ 1 + (1 ⁄ 1!) + (1 ⁄ 2!) (1 − 1 ⁄ n) + (1 ⁄ 3!) (1 − 1 ⁄ n) (1 − 2 ⁄ n) + … + (1 ⁄ n!) (1 − 1 ⁄ n) (1 − 2 ⁄ n) … (1 − {k − 1} ⁄ n).
En el límite de n infinito, la cota inferior queda así:
lim_n→∞x_n ≥ 1 + 1 ⁄ 1! + 1 ⁄ 2! + 1 ⁄ 3! + … + 1 ⁄ k!.
Esto vale para cualquier valor finito de k por grande que sea. De hecho, podemos ahora hacer un nuevo límite para k tendiendo a infinito y la cota inferior sigue siendo válida. Tenemos, pues, una cota inferior y una cota superior, así que podemos encajonar el valor límite de x_n:
lim_k→∞ 1 + 1 ⁄ 1! + 1 ⁄ 2! + 1 ⁄ 3! + … + 1 ⁄ k! ≤ lim_n→∞ x_n ≤ lim_n→∞ 1 + 1 ⁄ 1! + 1 ⁄ 2! + 1 ⁄ 3! + … + 1 ⁄ n!.
¡Premio! Ambas cotas son iguales, así que no sólo hemos demostrado que la sucesión de términos x_n converge, sino que además hemos encontrado otra forma de expresar el límite de esta sucesión, que habíamos tomado como el número e:

e ≡ lim_n→∞ 1 + 1 ⁄ 1! + 1 ⁄ 2! + 1 ⁄ 3! + … + 1 ⁄ n!.

Esta definición del número e mediante una serie es muy útil tanto en la definición de funciones como en la evaluación del propio número de forma aproximada sin más que truncar la serie en un número finito de términos.

Además de su propio valor como objeto matemático sólo para las matemáticas, el número e aparece en numerosos campos de aplicación práctica de la física y la ingeniería.

Categorías: Fechas, Matemáticas

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