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Probabilidad conjunta frente a la probabilidad condicionada (2)

2016-03-26

Ayer vimos la sutil o no tan sutil diferencia entre la probabilidad conjunta y la probabilidad condicionada. Ahora vamos a estudiar cómo podemos definir una si conocemos la otra.

Paso de la probabilidad conjunta a la probabilidad condicionada

Si tenemos dos fenómenos A y B y conocemos la probabilidad conjunta P(A∩B) (que es la probabilidad de que se den simultáneamente los fenómenos A y B tomando como referencia todo el espacio de posibilidades), la probabilidad condicionada P(A|B) queda determinada sin más que referir la probabilidad de que se produzcan ambos fenómenos no al espacio de posibilidades completo, sino el restringido a que se produzca el fenómeno B:

P(A|B) = P(A∩B) ⁄ P(B).

Como la probabilidad está comprendida entre 0 y 1, la probabilidad condicionada es mayor o igual que la probabilidad conjunta.

Como ejemplo de aplicación, digamos que el mes de marzo (que tiene 31 días) llueve durante 7 días, de manera que si escogemos un día cualquiera del año, la probabilidad de que sea un día lluvioso de marzo corresponde a

P(llueve∩marzo) = 7 ⁄ 365.

Se trata de una probabilidad conjunta. Por simplificar, hemos asumido que el año tiene 365 días exactamente. La probabilidad de que un día cualquiera caiga en el mes de marzo es

P(marzo) = 31 ⁄ 365.

La probabilidad condicionada P(llueve|marzo), que es la probabilidad de que un día llueva si se sabe que ese día cae en el mes de marzo, es

P(llueve|marzo) = P(llueve∩marzo) ⁄ P(marzo) = (7 ⁄ 365) ⁄ (31 ⁄ 365) = 7 ⁄ 31.

Esta probabilidad condicionada es mayor que la probabilidad conjunta.

Paso de la probabilidad condicionada a la probabilidad conjunta

De forma inversa, si conocemos la probabilidad conjunta P(A|B) (que es la probabilidad de que se den simultáneamente los fenómenos A y B tomando como referencia solamente los casos en los que se da el fenómeno B), la probabilidad conjunta P(A∩B) queda determinada sin más que referir la probabilidad condicionada al espacio de posibilidades completo:

P(A∩B) = P(A|B) P(B).

Como las probabilidades están comprendidas entre 0 y 1, la probabilidad conjunta es menor o igual que la probabilidad condicionada.

Como ejemplo de aplicación, digamos que el mes de marzo (que tiene 31 días llueve durante 7 días, de manera que si escogemos un día cualquiera del mes de marzo, la probabilidad de que sea un día lluvioso corresponde a

P(llueve|marzo) = 7 ⁄ 31.

Se trata de una probabilidad condicionada. La probabilidad de que un día cualquiera caiga en el mes de marzo es

P(marzo) = 31 ⁄ 365.

Por simplificar, hemos asumido que el año tiene 365 días exactamente. La probabilidad conjunta P(llueve∩marzo), que es la probabilidad de que un día cualquiera sea un día lluvioso de marzo, es

P(llueve∩marzo) = P(llueve|marzo) P(marzo) = (7 ⁄ 31) (31 ⁄ 365) = 7 ⁄ 365.

Esta probabilidad conjunta es menor que la probabilidad condicionada.

Categorías: Matemáticas

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