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Día del Número π

2013-03-14

El 14 de marzo es el Día del Número Pi, un día que celebra todo lo relacionado con una de las constantes matemáticas favoritas del mundo occidental: π, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en una geometría plana euclídea. Este día, escrito en cifras decimales y con el mes delante del día, es 3—14, números que coinciden con las tres primeras cifras de la expansión decimal de π: 3,14.

¿Qué se hace el Día del Número Pi? Podemos decorar la casa con las primeras cifras del número π, comer tartas (π en inglés se pronuncia igual que «pie», 'tarta'), organizar desafíos matemáticos diversos y contar historias relacionadas con el muy especial número que hoy nos ocupa.

Hoy, como divertimento, vamos a aproximar el número π mediante una fracción continua: un número escrito de la forma

c0 + 1 ⁄ {c1 + 1 ⁄ [c2 + 1 ⁄ (c3 + …)]}.

Podemos usar esta notación para rescribir la fracción continua: [c0; c1 c2, c3, …].

Partamos de una aproximación decimal del número π con pocas cifras: π ≈ 3,14159. Podemos escribirlo así:

π ≈ 3 + 0,14159 = 3 + 14159 ⁄ 100000.

Ahora bien, 14159 ⁄ 100000 = 1 ⁄ (100000 ⁄ 14159) = 1 ⁄ (7 + 887 ⁄ 14159), de modo que podemos escribir esto:

π ≈ 3 + 1 ⁄ (7 + 887 ⁄ 14159).

Podemos seguir. Resulta que 887 ⁄ 14159 = 1 ⁄ (14159 ⁄ 887) = 1 ⁄ (15 + 854 ⁄ 887). Por lo tanto,

π ≈ 3 + 1 ⁄ [7 + 1 ⁄ (15 + 854 ⁄ 887)].

Podemos seguir así. La secuencia es ésta:

3,14159 = [3; 7, 15, 1, 25, 1, 7, 4].

Como hemos usado una aproximación racional, la secuencia termina. El número π tiene una fracción continua parecida:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, …].

La secuencia sigue con infinitos términos sin orden aparente.


Categorías: Fechas, Matemáticas

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