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El juego de las cifras sumadas

2010-06-19

Hace casi un año, presentamos el artículo del juego de las cifras restadas, una curiosidad matemática recreativa. Como respuesta, J. L. propuso otro sencillo pero interesante problema. Aquí lo tenemos:

Planteamiento (teorema)

Tómese un número natural A expresado con varias cifras en una determinada base B. Súmense sus cifras, súmese las suma de sus cifras, súmese la suma de la suma de sus cifras… hasta que se obtenga un número de una única cifra. Este número no varía si el anterior proceso se realiza sumando en bloques de cifras (contiguas o no contiguas).

Expresado de un modo semiformal, el algoritmo básico a seguir es:

  1. Sea A0 = A un número natural de dos o más cifras.
  2. Sea k igual a 0.
  3. Sea Sk la suma de las cifras de Ak.
  4. Asígnese el valor de Sk a Ak+1.
  5. Si Sk tiene dos o más cifras, increméntese en una unidad el valor de k y vuélvase al tercer paso.
  6. Si Sk tiene una única cifra, tómese este valor como el resultado final, S.

Podemos modificar el procedimiento ligeramente y sumar, en vez de cifra a cifra, bloques de cifras (contiguas o no contiguas). El resultado, S, es siempre el mismo. Concretamente, el resultado es el residuo común del número de partida A módulo B − 1 (la base menos uno). En los siguientes párrafos, veremos por qué es así.

Demostración

Partimos de un resultado del juego de las cifras restadas: si a un número natural Ak le restamos las cifras de su expansión en la base B, obtenemos un múltiplo entero de la base menos uno:


Ak ≡ ∑(i=0,…,Nk) ci;k Bi
Sk ≡ ∑(i=0,…,Nk) ci;k
Ak − Sk = (B − 1) ∑(i=1,…,Nk) ci+1;k ∑(j=0,…,i−1)Bj

La suma de cifras Sk puede tener, en su expansión en base B, una única cifra o varias cifras. Esta demostración parte del paso final en el que se obtiene el valor final de una sola cifra, S = Sk. Por el anterior resultado, es congruente con Ak módulo B − 1:

S ≤ B − 1
S = Sk
Sk ≡ Ak (mod B − 1)

Si nos encontramos en el primer paso (k = 0), entonces esta parte de la demostración ha terminado. Si no, tenemos que el número Ak es igual a la suma del paso anterior, Sk−1. Por lo tanto:

Sk ≡ Sk−1 (mod B − 1)

Podemos extender el anterior resultado hasta el primer paso:

S = Sk
Sk ≡ Sk−1 (mod B − 1)
Sk−1 ≡ Sk−2 (mod B − 1)

S1 ≡ S0 (mod B − 1)
S0 ≡ A0 (mod B − 1)
A = A0

Por transitividad:

S ≡ A (mod B − 1)

Además, el resultado S tiene una sola cifra:

S ≤ B − 1

Por lo tanto:

S = A (mod B − 1)

De una forma un poco más explícita, el anterior resultado queda expresado de la siguiente manera:

S = A − ⌊A ⁄ (B − 1)⌋ (B − 1)

Cada diferente estrategia de suma por bloques puede dar un conjunto de resultados intermedios {S0S1, …, Sj, …} aparentemente distinto del que se obtiene con otras estrategias, pero la propiedad distributiva se aplica a la congruencia, así que todos los resultados intermedios siguen siendo congruentes módulo B − 1 con el número de partida A y, por lo tanto, el resultado final S es siempre el mismo: el residuo común módulo B − 1 o, lo que es lo mismo al ser todos los números no negativos, el resto de la división de A entre B − 1.

QED


Categorías: Matemáticas

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