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Cómo estimar antilogaritmos decimales mentalmente

2021-06-25

A veces es útil hacer cálculos mentales rápidos que a lo mejor no son muy precisos, pero nos sirven para sacar adelante el trabajo. Vamos a ver una técnica para estimar el valor del antilogaritmo en base diez de un número real con una o dos cifras significativas.

Dado que ya sabemos calcular la función exponencial mentalmente, podemos usar la siguiente relación para calcular el antilogaritmo decimal de un número real x:

10^x = e^log(10x) = e^x log(10).

Hay una forma más fácil, no obstante, de calcular el antilogartimo decimal, que es como el los logaritmos decimales, pero a la inversa.

Herramientas de trabajo: un resultado numérico maravilloso, tabla del tres, potencias de diez y potencias de dos

He aquí una maravilla que nos resultará muy útil:

10^0,300 ≅ 2,00.

Tenemos entre manos una coincidencia a tres cifras significativas con números redondos a más no poder. Buscamos una o dos cifras significativas en nuestros resultados finales y números fáciles de manipular, así que nos viene de perlas.

Otra herramienta que necesitamos es la tabla de multiplicar del tres. El número tres aparece obviamente en la igualdad aproximada anterior. Si el incauto lector puede leer este artículo y entender por qué puede ser interesante, entonces es casi seguro que conoce la tabla de multiplicar del tres.

Como trabajamos en base diez, las potencias enteras de diez son triviales de calcular. Las potencias enteras de diez serán otra herramienta de trabajo.

Las potencias de dos serán la última herramienta que vamos a necesitar. Incluso si el incauto lector no tiene interiorizadas las primeras potencias enteras de dos, seguramente podrá calcularlas en el acto.

El algoritmo

Buscamos aproximar con una o dos cifras significativas 10^x para algún x real. Podemos utilizar el siguiente algoritmo:

1. Expresamos el argumento de la siguiente manera: x ≅ 0,3×a + 10^b, con a y b enteros y, además, 0≤a≤9.
2. El valor del antilogaritmo decimal es 10^x ≅ 10^0,3×a+b ≅ 10^0,3×a×10^b ≅ 2^a×10^b.

Si tenemos dos aproximaciones de x más o menos igual de buenas, entonces podemos estimar el antilogaritmo decimal con ambas y luego calcular el valor promedio, quizá de forma ponderada.

Ejemplos

Busquemos el antilogaritmo decimal de 0,10:

1. Como 0,10 ≅ 0,3×7 − 2, tomamos a = 7 y b = −2.
2. El resultado es 10^0,10 ≅ 2⁷×10⁻² ≅ 1,3 con un error del 3 %.

Busquemos ahora el antilogaritmo decimal de −3,4:

1. Como −3,4 ≅ 0,3×2 − 4, tomamos a = 2 y b = −4.
2. El resultado es 10^−3,4 ≅ 2²×10⁻⁴ ≅ 0,00040 con un error del 0,5 %.

Busquemos, por último, el antlogaritmo decimal de 3,14:

1. Como 3,14 ≅ 3,1 ≅ 0,3×7 + 1 y, también, 3,14 ≅ 3,2 ≅ 0,3×4 + 2, tomamos tanto a = 7 y b = 1 como a = 4 y b = 2.
2. El resultado tiene que estar entre 10^3,1 ≅ 2⁷×10¹ ≅ 1300 y 10^3,2 ≅ 2⁴×10² ≅ 1600. Si hacemos una media ponderada, obtenemos 10^3,14 ≅ 0,7×10^3,1 + 0,3×10^3,2 ≅ 0,7×1300 + 0,3×1600 ≅ 910 + 480 ≅ 1400 con un error en torno al 1 %.

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Categorías: Matemáticas

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