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El modelo epidemiológico SIR (18)

2020-05-26

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

• cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
• el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
• cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
• cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
• cómo calcular el resultado final de la epidemia;
• cómo se comporta la epidemia en el entorno del máximo de infectados simultáneos;
• cómo varían los infectados cerca del final de la epidemia;
• cómo se relacionan la fase de crecimiento exponencial inicial de la epidemia y la fase de decrecimiento exponencial final de la epidemia;
• qué condición es necesaria para la inmunidad de grupo;
• cómo queda modificado el modelo si en vez de trabajar con proporciones sobre la población total, trabajamos con números absolutos de individuos;
• cómo plantear el modelo cuando hay nacimientos y defunciones, pero la población total se mantiene estable;
• cómo extraer el ritmo reproductivo básico del modelo con natalidad y mortalidad en equilibrio;
• los puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema referido a los susceptibles y los infectados;
• la naturaleza del punto de equilibrio libre de enfermedad;
• la naturaleza del equilibrio endémico.
• cómo las soluciones se mantienen confinadas en el conjunto de valores que tiene sentido físico.

Hoy vamos a ver que las soluciones siempre convergen a algún punto de equilibrio (bien el equilibrio endémico, bien el equilibrio libre de enfermedad). Para que el modelo contemplara otros comportamientos como oscilaciones periódicas o incluso caos, haría falta añadir complicaciones adicionales (parámetros variables en el tiempo, por ejemplo).

Recordemos que estamos estudiando los puntos fijos del siguiente sistema:

dS ⁄ dt = μ − (1+μ) R₀ S I − μ S;

dI ⁄ dt = (1+μ) R₀ S I − (1+μ) I.

Aparecen varios símbolos cuyo significado es el siguiente:

• La variable dependiente S es la proporción susceptible de la población total.
• La variable dependiente I es la proporción de la población infectada.
• La variable independiente t es el tiempo hecho adimensional de forma que la población infectada pasa a ser población recuperada a un ritmo por unidad de tiempo adimensional igual a la propia población infectada. El primer artículo sobre los puntos fijos explica esto.
• El símbolo μ denota tanto la natalidad como la mortalidad, que son iguales. Este número es nulo en el caso en el que no hay nacimientos ni muertes (o cuando se producen a un ritmo tan lento que es legítimo despreciar su efecto) y es positivo en el caso más general.
• El símbolo R₀ es el ritmo reproductivo básico (los nuevos contagios que provoca el caso inicial). Este número es nulo en el caso trivial de una enfermedad que no se contagia y positivo en el caso general de las enfermedades contagiosas.

Posibles comportamientos a largo plazo

El sistema tiene dos dimensiones, las variables están confinadas en una región finita y las derivadas siguen funciones analíticas de las variables, así que podemos descartar comportamientos problemáticos (divergencias, caos…) y no queda más remedio que las soluciones bien acaben convergiendo a algún punto fijo, bien formen órbitas cerradas en el plano de fase (oscilen de forma periódica en el tiempo). Vamos a ver, además, que las órbitas cerradas no son posibles, lo que obliga a que las soluciones converjan a puntos fijos (el equilibrio libre de enfermedad y el equilibrio endémico).

Las órbitas cerradas no son posibles

Podemos descartar las órbitas cerradas si hacemos uso del teorema de Bendixson-Dulac con 1 ⁄ I como función de Dulac. Sea C una hipotética trayectoria cerrada dentro de la región 0 ≤ S, 0 < I, S+I ≤ 1 (luego veremos qué sucede si la curva pasa por I = 0) y sea D la región interior a este contorno. El teorema de Green dice lo siguiente:

∮_C[(1 ⁄ I) (dS ⁄ dt) dI − (1 ⁄ I) (dI ⁄ dt) dS] = ∬_D{(∂ ⁄ ∂S) [(1 ⁄ I) (dS ⁄ dt)] + (∂ ⁄ ∂I) [(1 ⁄ I) (dI ⁄ dt)]} dS dI = ∬_D[−(μ ⁄ I) − (1+μ) R₀] dS dI < 0.

Por otra parte, una trayectoria cerrada tendría que cumplir esto:

∮_C[(1 ⁄ I) (dS ⁄ dt) dI − (1 ⁄ I) (dI ⁄ dt) dS] = ∮_C(1 ⁄ I) [(dS ⁄ dt) (dI ⁄ dt) − (dI ⁄ dt) (dS ⁄ dt)] dt = 0.

Esto contradice el resultado del teorema de Green, así que no es posible. No existen trayectorias cerradas en el conjunto 0 ≤ S, 0 < I, S+I ≤ 1.

Queda ver, por supuesto, qué sucede con el contorno I = 0, 0 ≤ S ≤ 1. El sistema se reduce a dS ⁄ dt = μ − μ S, dI ⁄ dt, cuyas soluciones que parten desde cualquier punto del sistema estudiado bien convergen al equilibrio endémico S = 1, I = 0 cuando μ ≥ 0, bien directamente permanecen estacionarias cuando μ = 0; por lo tanto, este contorno no es parte de una órbita cerrada.

Lo visto en los anteriores párrafos hace descartar las órbitas cerradas en el espacio de fase, es decir, las soluciones periódicas en el tiempo.

Las soluciones acaban convergiendo a puntos fijos

Tras descartar otras posibilidades, vemos que no queda más remedio que las soluciones acaben convergiendo a puntos fijos.

• Con μ = 0, ya vimos en su momento que las soluciones convergen a algún punto del eje I = 0. No hay un único punto fijo, sino que la situación es degenerada: todo I = 0 es fijo y además es atractor cuando S < 1 ⁄ R₀.
• Con μ > 0 y 0 < R₀ ≤ 1, no hay equilibrio endémico y las soluciones han de converger forzosamente al equilibrio libre de enfermedad.
• Con μ > 0 y R₀ > 1, el equilibrio endémico existe y es un bien un nodo atractor (las soluciones convergen sin oscilar), bien una espiral atractora (las soluciones convergen oscilando de forma amortiguada). El equilibrio libre de enfermedad, en cambio, es un punto silla, solamente atractor en una dirección (en concreto, atrae en todo el eje I = 0). Por lo tanto, las soluciones que parten de I = 0 acaban en el equilibrio libre de enfermedad y todas las demás acaban en el equilibrio endémico.

Categorías: Matemáticas, Salud

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