Tensiones o esfuerzos mecánicos (14)
2016-06-07
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; algunas, como el elipsoide de Lamé, son representaciones geométricas. Ayer dimos un vistazo rápido a una de estas representaciones: la cuádrica indicatriz de tensiones. Quedó en el tintero una propiedad importante de esta representación.
La cuádrica indicatriz de tensiones como herramienta gráfica de cálculo de la tensión
Recordemos que, con la notación de ayer, la cuádrica indicatriz de tensiones es la superficie cuyos puntos (de coordenadas {x1, x2, x3} en en ejes principales) obedecen la ecuación implícita siguiente:
σ ⁄ |σ| = signo(σ) = σ1 (x1)2 + σ2 (x2)2 + σ3 (x3)2.
En un punto cualquiera de la cuádrica indicatriz de tensiones, el plano tangente es perpendicular a la dirección N (de componentes {N1, N2, N3}) marcada por el gradiente de la ecuación implícita:
N1 = 2 σ1 x1 = 2 σ1 n1 ⁄ √σ;
N2 = 2 σ2 x2 = 2 σ2 n2 ⁄ √σ;
N3 = 2 σ3 x3 = 2 σ3 n3 ⁄ √σ.
Por otra parte, el vector tensión t tiene componentes
t1 = n1 σ1;
t2 = n1 σ2;
t3 = n1 σ3.
Se aprecia, por lo tanto, que la perpendicular local a la cuádrica indicatriz de tensiones N y el vector tensión t son colineales.
Conocidos el elipsoide de Lamé y la cuádrica indicatriz de tensiones, es fácil calcular gráficamente el vector tensión para una dirección de medida dada:
- se traza desde el origen la dirección de medida hasta que intersecta la cuádrica indicatriz de tensiones;
- en este punto de intersección, se traza el plano tangente a la cuádrica;
- se traza la perpendicular al plano tangente que pasa por el origen;
- una de las dos intersecciones de esta perpendicular con el elipsoide de Lamé es el vector tensión;
- la intersección queda determianada de acuerdo con el signo de la tensión normal: si es de tracción, el vector tensión apunta hacia el vector normal de medida; si es de tracción, apunta en sentido opuesto.
La siguiente figura (bidimensional para facilitar la visualización) sirve de ejemplo:
Cálculo gráfico mediante el elipsoide de Lamé y la cuádrica
indicatriz de tensiones. Dada una dirección de
medida n, se calcula el punto
correspondiente x en la
cuádrica indicatriz sin más que prolongar hasta la intersección.
Seguidamente, se traza el plano tangente a la cuádrica (línea de
puntos tangente a la rama de hipérbola en el
punto x. El vector tensión
t está en la intersección de
la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la tangente (la
otra línea de puntos) y el elipsoide de Lamé (la elipse en esta
figura). La intersección queda determinada en este caso porque se
espera que la tensión normal sea compresiva, es decir, que apunte en
sentido opuesto a la dirección normal de
medida n.
Categorías: Física
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