Tensiones o esfuerzos mecánicos (11)
2015-09-07
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos recientemente que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; ya vimos tres de ellas: las tensiones principales, los invariantes y las tensiones octaédricas. Hoy vamos a ver otra representación que, como las anteriores, es característica de las matrices simétricas: el elipsoide de Lamé.
El elipsoide de Lamé
Elipsoide de Lamé: el lugar geométrico de los vectores tensión
generados por un tensor de tensiones.
Sabemos que el vector tensión en un punto dado resulta de una aplicación lineal sobre la dirección de medida. Si tomamos como triedro de referencia el definido por los ejes principales correspondientes a las tensiones principales σ1, σ2 y σ3, las componentes t1, t2 y t3 del vector tensión medido en la dirección con dirección normal de componentes n1, n2 y n3 son las siguientes:
t1 = σ1 n1;
t2 = σ2 n2;
t3 = σ3 n3.
Si conocemos las componentes del vector tensión y las tensiones principales, podemos saber la dirección de medida:
n1 = t1 ⁄ σ1;
n2 = t2 ⁄ σ2;
n3 = t3 ⁄ σ3.
La dirección normal de medida, por definición, está normalizada:
(n1)2 + (n2)2 + (n3)2 = 1.
Si combinamos las últimas expresiones, obtenemos la siguiente relación:
(t1 ⁄ σ1)2 + (t2 ⁄ σ2)2 + (t3 ⁄ σ3)2 = 1.
Esta ecuación es la de un elipsoide en el espacio de las componentes de los vectores tensión: el elipsoide de Lamé. Con unas tensiones principales dadas, el vector tensión está restringido a adoptar valores en el correspondiente elipsoide de Lamé.
Categorías: Física
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