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Cómo calcular el día de la semana

2010-03-10

Con un poco de entrenamiento, casi cualquier persona puede conocer el día de la semana de cualquier fecha del calendario gregoriano (enlace a un artículo de la Wikipedia en español con fecha de edición de 25 de febrero de 2010 a las 22:28). Podemos ver cómo hacer la cuenta con un poquito de aritmética modular:

• A cada día de la semana vamos a asignarle un número del 0 al 6. El domingo será el día 0, el lunes será el día 1, el martes será el día 2, el miércoles será el día 3, el jueves será el día 4, el viernes será el día 5 y el domingo será el día 6.
• Sea Δ el número de días transcurridos desde una determinada fecha de referencia que sea domingo. Δ mod 7 será el día de la semana, s.
• Como la fecha se expresa dando el año, el mes y el día del mes, lo mejor será expresar Δ como una suma de varias contribuciones.
• Por comodidad, sumaremos estas contribuciones módulo 7; así trabajaremos siempre con números pequeños. Esto no cambiará el resultado porque s = Δ (mod 7).
• La contribución del día del mes será el propio día del mes, c_día. Por ejemplo, para el presente día 10, c_día = 10 = 3 (mod 7).
• Al día del mes hay que añadirle la fecha del «día 0» del propio mes, c_mes, es decir, el resultado de restarle 1 al día del año del primer día del mes. Estas fechas módulo 7 son:

  Enero

  0

  Febrero

  3

  Marzo

  3

  Abril

  6

  Mayo

  1

  Junio

  4

  Julio

  6

  Agosto

  2

  Septiembre

  5

  Octubre

  0

  Noviembre

  3

  Diciembre

  5

  Por ejemplo, para el presente mes de marzo, c_mes = 3.
• Los años tienen, habitualmente, 365 días; módulo 7, esto es 1. Por lo tanto, cada año añade c_año días. Haremos la contribución c_año sólo con las dos cifras de las unidades y las decenas del año: por ejemplo, para el presente 2010, c_año = 10 = 3 (mod 7).
• Cada año bisiesto añade un día más a la cuenta porque tiene 366 días, es decir, un día más que los años convencionales. Un año es bisiesto si el número de año (las unidades y las decenas) es múltiplo no nulo de 4; por ejemplo, el año 2010 no es bisiesto, el año 1912 sí es bisiesto y el año 1900 no es bisiesto. La corrección por los años bisiestos, c_bisiestos será, pues, la división entera del número de año entre 4; por ejemplo, para el presente año 2010, c_bisiestos = ⌊10 ⁄ 4⌋ = 2. Esta corrección sólo podemos hacerla del mes de marzo en adelante, así que si el año es bisiesto y el mes es enero o febrero, al valor ya calculado de c_bisiestos hay que restarle 1.
• El número de siglo o centenares de años se obtiene al coger del año sólo las cifras de las centenas en adelante. Por ejemplo, el número de siglo del presente 2010 es simplemente 20. Como en la contribución por año sólo estábamos tomando las cifras de las unidades y las decenas, perdimos información que ahora hay que recuperar. Cada siglo tiene 100 años de los que 24 son bisiestos, así que hay que hacer una contribución c_siglo de 124 días por cada número de siglo. Módulo 7, esta contribución es de 5 días por número de siglo. Además, cuando el número de siglo es múltiplo de 4, el correspondiente año nulo sí es bisiesto, así que añade una unidad más a la contribución c_siglo de los siglos. Por lo tanto, c_siglo es el 5 veces el número de siglo más la división entera del número de siglo entre 4. Por ejemplo, la corrección de los siglos del presente año 2010 es c_siglo = 5 · 20 + ⌊20 ⁄ 4 ⌋ = 105 = 0 (mod 7).
• Hay que hacer una última contribución, que corresponde al día de la semana que corresponde al punto de partida para el que todas las contribuciones (la del día del mes, la del mes, la del año, la del año bisiesto y la del siglo) son nulas. Un vistazo rápido al calendario muestra que tal fecha es un sábado, es decir, hay que añadir a nuestro cálculo una contribución c_inicial = 6.
• El día de la semana es la suma de todas las contribuciones módulo 7:
  s = (c_día + c_mes + c_año + c_bisiestos + c_siglo + c_inicial) mod 7.
  El presente 10 de marzo de 2010, s = (10 + 3 + 3 + 2 + 0 + 6) mod 7 = 3, es decir, el día de la semana es miércoles.

La anterior explicación queda recogida en un pequeño algoritmo muy sencillo en el que las simplificaciones módulo 7 aparecen de forma explícita:

1. d ← (día del mes) mod 7
2. m ← (número de mes)
3. c ← ⌊(año) ⁄ 100⌋
4. a ← (año) mod 100
5. s ← 2 · (3 − (c mod 4)) mod 7
6. s ← (s + a) mod 7
7. s ← (s + ⌊a ⁄ 4⌋) mod 7
8. s ← (s + c_m) mod 7
9. s ← (s + d) mod 7
10. (año bisiesto) ⇒ (s ← s − 1)

El quinto paso es el resultado de unir la contribución por el siglo y la contribución por el día de la semana del punto de partida y hacer algunas simplificaciones astutas, de modo que se evidencia que la contribución de los centenares de años es muy sencilla y tiene periodo 4. El sexto paso consiste en entrar con el valor de m del segundo paso en la siguiente tabla con los valores de las contribuciones de los distintos meses:

Podemos hacer el cálculo para hoy, 10 de marzo de 2010:

1. d ← 10 mod 7 = 3
2. m ← 3
3. c ← ⌊2010 ⁄ 100⌋ = 20
4. a ← 2010 mod 100 = 10
5. s ← 2 · (3 − (20 mod 4)) mod 7 = 6
6. s ← (6 + 10) mod 2
7. s ← (2 + ⌊10 ⁄ 4⌋) mod 4
8. s ← (4 + c₃) mod 7 = 0
9. s ← (0 + 3) mod 7 = 3
10. (el año no es bisiesto) ⇒ (s se queda como está)

Es decir, hoy es día 3 de la semana: miércoles.

Parece que el anterior algoritmo tiene un nombre: el algoritmo de Lewis Carroll. Sin duda, el famoso escritor y matemático se vio envuelto en algún tipo de trama con máquinas del tiempo para adalentarse a esta página y poder publicar el algoritmo con siglos de antelación. Hay más métodos equivalentes como la congruencia de Zeller (enlace a un artículo de la Wikipedia en español con fecha de edición de 7 de marzo de 2010 a la 1:29) y la regla del Día del Juicio de Conway (en inglés); esto demuestra que hay una conspiración a gran escala de viajeros temporales.

Categorías: Matemáticas

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