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¿Está muy lejos la Luna?

2011-01-11

He aquí un bonito problema de mecánica celeste adecuado para los actuales estudiantes de bachillerato: el cálculo de la distancia entre la Tierra y la Luna.

Planteamiento

Queremos calcular el radio medio de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra con dos cifras significativas. Es posible conocer esta distancia a partir de medidas realizadas desde la Tierra. Para ello, aplicaremos el siguiente modelo (perfectamente válido para el nivel de precisión que buscamos):

• La Tierra es una esfera de radio R_T = 6,37 Mm.
• El campo gravitatorio terrestre es el de una masa puntual situada en el centro de la Tierra y con la masa de la Tierra.
• La aceleración gravitatoria en la superficie terrestre es g = 9,81 m ⁄ s².
• En el sistema Tierra-Luna, podemos considerar que la Tierra se encuentra en el centro y no se mueve, mientras que la Luna, atrapada por la gravedad de la Tierra, describe una órbita circular con un periodo T = 2,36 Ms.
• Podemos ignorar las interacciones con el resto del universo.

Solución

La Luna experimenta una aceleración centrípeta a que ha de ser igual a la aceleración gravitatoria. La aceleración centrípeta es:

a = ω² R.

En la anterior ecuación, ω es la frecuencia angular de la rotación (ω = 2 π ⁄ T) y R es el radio de la órbita de la Luna.

La aceleración gravitatoria es:

a = G M_T ⁄ R².

En la anterior ecuación, G es la constante de gravitación universal y M_T es la masa de la Tierra. No tenemos el valor de estas constantes, pero sí sabemos el radio de la Tierra R_T y la aceleración gravitatoria en la superficie terrestre g:

g = G M_T ⁄ R_T².

Si juntamos las anteriores ecuaciones, podemos despejar el radio de la órbita lunar:

R = {g [R_T T ⁄ (2 π)]²}^1 ⁄ 3 = 0,38 Gm.

¡Esta distancia es equivalente a unas treinta veces el diámetro de la Tierra!

¿Cómo de bueno es nuestro cálculo? El radio orbital medio de la Luna es de 384400 km, así que hemos cumplido nuestro objetivo de precisión.

Categorías: Física

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