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El acertijo de la edad del abuelo

2011-06-01

Recientemente, una compañera me propuso el siguiente acertijo:

Mi edad es igual a la suma de las cifras de la edad de mi abuelo. Además de esto, mi edad, el año pasado, era igual a la mitad de la suma de las cifras de la edad que tenía mi abuelo entonces. Ahora que sabes esto, dime qué edad tengo y qué edad tiene mi abuelo.

En el anterior acertijo, suponemos que la edad está expresada en años enteros en base 10.

Tras meditar durante un ratito, es muy fácil encontrar una solución, aunque sea por tanteo. La auténtica diversión llega al pensar un poco más y descubrir que la solución no es única. Vamos a ver cómo generalizar el problema y qué aspecto tienen las soluciones.

Trabajaremos en una base cualquiera entera positiva b. En esta base, la edad del abuelo queda expresada como el número de N + 1 cifras
∑_(k=0,…,N)C_k b^k.

Los coeficientes {C₀, …, C_N} han de ser enteros y no negativos:
C_k ≥ 0,  ∀k ∈ {0, …, N}.
El coeficiente más significativo ha de ser estrictamente positivo:
C_N ≥ 1.
∑_(k=0,…,N)C_k > 0.
Por otra parte, los coeficientes han de ser menores que la base:
C_k ≤ b − 1,  ∀k ∈ {0, …, N}.
Con estas condiciones la suma de los coeficientes está acotada:
1 ≤ ∑_(k=0,…,N)C_k ≤ (N + 1) (b − 1).

Supongamos que el coeficiente menos significativo C₀ (es decir, la cifra de las unidades) no es nulo. En tal caso, la condición de que la suma de las cifras de la edad del abuelo hoy es igual a la semisuma de las cifras de la edad del abuelo el año pasado queda así:
∑_(k=0,…,N)C_k = [∑_(k=0,…,N)C_k − 1] ⁄ 2.
¡Esta ecuación, con las restricciones del anterior párrafo, no tiene solución! Por lo tanto, la cifra de las unidades ha de ser nula.

Supongamos que la cifra de las unidades es nula. Supongamos algo más: que todas las cifras hasta la cifra C_p−1 (con 0 < p ≤N) son nulas. De esta manera, p es el orden de la primera cifra no nula. La cota inferior de la suma de las cifras es la misma de antes, pero podemos establecer una cota inferior más ajustada:
1 ≤ ∑_(k=0,…,N)C_k ≤ (N − p + 1) (b − 1).
No cuesta mucho esfuerzo ver que el problema queda expresado de la siguiente manera cuando aplicamos estas suposiciones:
∑_(k=p,…,N)C_k = [∑_(k=p,…,N)C_k − (N − p + 1) + (b − 1) p] ⁄ 2.
Ahora queda hacer unas sencillas manipulaciones algebraicas para ver que la solución ha de cumplir la siguiente condición:
∑_(k=p,…,N)C_k = b p − N − 1.
Podemos aplicar la cota inferior y la cota superior de la suma de las cifras; de ello se extrae que ha de cumplirse lo siguiente para que el problema tenga solución:
1 ≤ b p − N − 1 ≤ (N − p + 1) (b − 1).
Tras unas sencillas manipulaciones, obtenemos las siguientes restricciones aplicables al orden N de la cifra más significativa:
(2 − 1 ⁄ b) p − 1 ≤ N ≤ b p − 2.
Hay otra restricción: la primera cifra no nula p no puede superar el número N de cifras
p ≤ N;
como esta restricción nunca es más crítica que la anterior, podemos ignorarla. Como ejemplo de todo esto, si la base es 10 (b = 10) y la cifra de las unidades es no nula (p = 1), entonces el número de cifras ha de ser mayor o igual que dos y menor o igual que nueve (1 ≤ N ≤ 8).

Queda como ejercicio para el incauto lector hacer aplicación numérica y calcular la edad del abuelo en distintas bases b y con distintos valores del número de cifras N y de la primera cifra no nula p.

Categorías: Matemáticas

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