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Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (2)

2011-11-13

Este artículo es la continuación de este otro, que planteaba las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos en forma integral de conservación. Estas ecuaciones sirven para modelar el comportamiento macroscópico de fluidos en los que los efectos de la viscosidad, la conducción térmica, la radiación térmica, las reacciones químicas (y, en general, la presencia de más de una especie química), los campos de fuerza (como la gravedad), la relatividad y el enrarecimiento son despreciables, lo que puede parecer restrictivo, pero en realidad es una aproximación excelente para toda clase de situaciones de gran interés práctico. Hoy veremos otra forma muy común de las ecuaciones, la diferencial de conservación, que es útil, entre otras cosas, para plantear métodos numéricos de diferencias finitas capaces de capturar ondas de choque con buena precisión, lo que es muy útil si uno quiere diseñar cuerpos aerodinámicos preparados para volar en régimen transónico, tales como los grandes aviones de transporte de pasajeros.

(∂⁄∂t) ρ + ∇ ⋅ (ρv) = 0
(∂⁄∂t) (ρv) + ∇ ⋅ (ρv⊗v+pI) = 0
(∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) + ∇ ⋅ (ρev+ρv²v⁄2+pv) = 0.

Las anteriores ecuaciones son las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos expresadas en forma diferencial de conservación. Recordemos lo que significa cada símbolo:

• t es el tiempo;
• ρ es la densidad del fluido;
• v es la velocidad del fluido;
• v es el módulo de la velocidad del fluido;
• p es la presión en el fluido;
• I es el tensor unitario de rango 2;
• e es la energía interna del fluido;
• (∂⁄∂t) es la derivada parcial con respecto del tiempo;
• (∇ ⋅) es el operador diferencial divergencia;
• ⊗ es el operador de producto tensorial.

Las ecuaciones de Euler en forma diferencial de conservación son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Las ecuaciones de conservación son todas así: la suma de la derivada parcial temporal de las variables conservadas y la derivada espacial de unas magnitudes derivadas (los flujos) es igual a cero. Estas ecuaciones diferenciales suelen salir naturalmente de ecuaciones integrales de conservación, que suelen relacionar con el tiempo una magnitud en un dominio con los flujos a través de su frontera. Las ecuaciones de Euler en forma diferencial de conservación se deducen fácilmente a partir de su forma integral de conservación sin más que aplicar el teorema de la divergencia a las integrales de contorno y explotar el hecho de que las ecuaciones se cumplen en dominios arbitrarios. Recordemos que las ecuaciones en forma integral aplicadas a un volumen V fijo pero arbitrario y de frontera S (con vector unitario normal hacia el exterior n) tenían este aspecto:

∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv⊗v+pI) ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2+p) v ⋅ n dS = 0.

Si aplicamos el teorema de la divergencia a las integrales de contorno, quedan estas otras ecuaciones:

∫∫∫_V[(∂⁄∂t) ρ + ∇ ⋅ (ρv)] dV = 0
∫∫∫_V[(∂⁄∂t) (ρv) + ∇ ⋅ (ρv⊗v+pI)] dV = 0
[(∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) + ∇ ⋅ (ρev+ρv²v⁄2+pv)] dV = 0.

El volumen de integración V es arbitrario, así que, para que se cumplan las ecuaciones, los integrandos han de anularse en todos los puntos (salvo, quizá, en conjuntos de contenido nulo). Recuperamos, por lo tanto, las ecuaciones de Euler en forma diferencial de conservación:

(∂⁄∂t) ρ + ∇ ⋅ (ρv) = 0
(∂⁄∂t) (ρv) + ∇ ⋅ (ρv⊗v+pI) = 0
(∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) + ∇ ⋅ (ρev+ρv²v⁄2+pv) = 0.

La primera ecuación es la de conservación de la masa. La segunda, la de la cantidad de movimiento (la segunda ley de Newton en forma integral). La última, la de la energía.

Estas ecuaciones han de ser complementadas por una ecuación constitutiva que permita relacionar la presión, la densidad y la energía interna; por ejemplo, puede ser aplicable el modelo de gas ideal en el que la presión, la densidad y la temperatura están relacionados mediante la ecuación de estado de los gases ideales y la energía interna depende linealmente de la temperatura y sólo de la temperatura:
p ∝ ρ T.
Otros modelos más sofisticados también son útiles. Además de esto, hacen falta las debidas condiciones iniciales y de contorno y el segundo principio de la termodinámica para distinguir qué solución es válida en algunos casos en los que varias son posibles.

Otros artículos sobre las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos

• Las ecuaciones en forma integral de conservación.
• Las ecuaciones en forma diferencial de no conservación.

Categorías: Física, Matemáticas

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