¿Nos mojamos menos cuando llueve si corremos? (1)
2012-01-17
Supongamos que llueve y no llevamos un paraguas con el que cubrirnos. Si corremos, nos mojamos menos que si vamos despacio, al menos si no nos metemos en un charco. La pregunta es: ¿cuánto menos? Analicemos.
Empecemos con un modelo muy simplificado. Supongamos que el cuerpo humano es como un prisma alargado en la dirección vertical. Su superficie en planta es Ap y su superficie frontal es Af. El modelo funciona si el cuerpo no es un prisma, pero el prisma es rápido de dibujar y no oscurece el mensaje a transmitir con detalles innecesarios.
Geometría simplificada del cuerpo humano.
Supongamos que la lluvia cae vertical y de forma uniforme y constante. En promedio, es como si el espacio estuviera bañado por un mar de agua de baja densidad y con una corriente dirigida hacia abajo. La densidad equivalente es ρ y la velocidad es v, dirigida según la vertical hacia abajo.
Las gotas de lluvia de la izquierda son equivalentes a la
distribución uniforme de agua de la derecha en la que la densidad
es baja e igual a la masa total de las gotas de agua dividida por el
volumen de la atmósfera a estudiar.
El sujeto humano del modelo tiene que desplazarse en línea recta horizontal y a velocidad constante u entre dos puntos. Empieza a estar expuesto a la lluvia justo al salir del punto de partida y deja de estar expuesto a la lluvia en el punto de destino. La distancia que separa el punto de partida del punto de destino es l, así que el tiempo de viaje es l ⁄ u.
Camino rectilíneo horizontal a recorerer.
El cuerpo de este modelo idealizado se moja cuando la corriente atraviesa su superficie prismática: lo mucho que se moja es igual al flujo de agua a través de su superficie. El flujo es igual a la velocidad normal a la superficie multiplicada por la densidad y el área superficial. En este cálculo sólo cuenta el flujo entrante, es decir, aquel flujo en el que la velocidad normal está dirigida hacia el interior del volumen prismático del cuerpo.
Modelo para el flujo entrante de agua. Moja la lluvia entra
en el volumen ocupado por el cuerpo a través de la superficie
en planta superior y de la superficie frontal. La velocidad de entrada
es la velocidad relativa normal a la superficie, así que la velocidad
relativa tangencial es irrelevante.
Podemos saber cuánto se moja el cuerpo mediante un razonamiento
geométrico muy sencillo. Sólo hay dos superficies que pueden
tener un flujo entrante de agua: la superficie en planta Ap y la superficie frontal
Af. Como el movimiento
del cuerpo es horizontal y el flujo va con la velocidad normal, no
la tangencial, resulta que el flujo entrante por unidad de tiempo
en la superficie en planta de la cabeza es independiente de la
velocidad u de avance horizontal.
La superficie en planta de la cabeza habrá recibido tras el tiempo
de viaje l ⁄ u
una masa de agua igual a
Ap ρ v l ⁄ u
(es decir, la superficie Ap multiplicada por la densidad
ρ equivalente de la lluvia
multiplicada por la velocidad normal v
del agua entrante multiplicada por el tiempo de viaje l ⁄ u).
El agua recibida a través de la superficie frontal, en cambio, es
independiente de la velocidad e igual a la contenida en el volumen
prismático barrido entre el origen y el destino. En efecto, el
tiempo de viaje es inversamente proporcional a la velocidad de avance
u, pero la velocidad normal del agua
entrante es igual a dicha velocidad de avance, así que al final se
captura la siguiente masa:
Af ρ u l ⁄ u = Af l ρ.
La masa M(u) de agua
capturada tanto por la superficie en planta de la cabeza como por la
superficie frontal es la suma de las dos anteriores:
M(u) = ρ Ap l v ⁄ u + ρ Af l.
Esta masa de agua tiene una componente fija —el agua contenida
en el volumen barrido por el cuerpo a lo largo del viaje— y una
componente inversamente proporcional a la rapidez de avance u. Por lo tanto, el agua capturada —lo
que se moja el cuerpo— decrece conforme se recorre el camino más
deprisa y tiene como cota inferior el agua contenida en el volumen barrido
al avanzar.
Podemos comparar la masa de agua M(u) con la que se moja el sujeto al
hacer el recorrido con celeridad u
y la masa M(∞) con la que se
mojaría si se desplazara extremadamente rápido, que es la situación
en la que se mojaría lo mínimo posible:
M(u) ⁄ M(∞) = 1 + (Ap ⁄ Af) (v ⁄ u).
Esta función es el indicador de lo que se moja el sujeto
durante el trayecto. De esta expresión se deduce que los
individuos corpulentos (con una superficie en planta Ap considerable frente a la
superficie frontal Af)
pueden notar más el efecto de correr deprisa que los
individuos esbeltos. De igual manera, el efecto de correr es
más significativo si las gotas de agua caen a una velocidad v elevada, lo que se produce cuando éstas
son grandes.
Curva de empapamiento en función de la rapidez. La línea
azul es el indicador de lo que se empapa el sujeto. La línea
de puntos es lo que se empaparía si fuera extremadamente rápido.
Veamos con un ejemplo numérico cómo quedaría un ser humano adulto típico. Resulta que los adultos de estatura media suelen caminar dolorosamente despacio en torno a unos 1,4 m ⁄ s, una rapidez quizá popular por una economía energética que permite hacer que caminar casi no sea una actividad física. Por otra parte, un adulto de estatura media sin entrenamiento pero sin problemas de movilidad tendría que ser perfectamente capaz de mantener unos alegres 4,2 m ⁄ s durante distancias cortas. La relación entre el área en planta y el área frontal durante la locomoción puede estar en torno a 1 ⁄ 7 y la velocidad terminal de una gota de lluvia grandecita, de las que molestan, puede estar en torno a los 10 m ⁄ s. Incluso si aceptamos que la relación de áreas sube a 1 ⁄ 6 al correr, esto nos deja con que el coeficiente de mojado durante el trayecto está en torno a 2,0 al caminar a 1,4 m ⁄ s y en torno a 1,4 al correr a 4,2 m ⁄ s. El modelo empleado tiene simplificaciones muy groseras, pero indica que correr un poco sí puede ser significativo.
Otros artículos de la serie
- Lo que pasa cuando la lluvia viene de lado.
- Lo que pasa cuando la lluvia viene de frente o de espalda.
Categorías: Matemáticas
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