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Qué es eso del análisis dimensional

2013-06-10

El análisis dimensional es una herramienta muy útil en la física y otros campos científicos. Consiste, como indica su nombre, en analizar las dimensiones de las magnitudes físicas con fines diversos como verificar la corrección de un cálculo o reducir el número de variables de un modelo.

¿Cómo que las dimensiones de las magnitudes físicas?

La dimensión de una magnitud física es la naturaleza de dicha magnitud: si se trata de una longitud, de un tiempo, de una masa…

Al describir un sistema, podemos identificar algunas dimensiones como fundamentales y otras como derivadas. Por ejemplo, podemos tomar la longitud y el tiempo como fundamentales y considerar la velocidad como derivada al ser una longitud dividida por un tiempo; pero también podemos tomar la velocidad y el tiempo como fundamentales, lo que deja la longitud con dimensiones de velocidad multiplicada por tiempo.

El análisis dimensional como herramienta de verificación

Una propiedad muy útil que suelen tener los modelos físicos es que suelen estar expresados matemáticamente de forma tal que si hay dos términos sumados, ambos tienen las mismas dimensiones (el viejo cuento de sumar peras con peras y manzanas con manzanas); y en las ecuaciones, lo que aparece a un lado de una igualdad, tiene las mismas dimensiones que al otro lado de la igualdad (las superficies no son lo mismo que las longitudes, por ejemplo, así que no se igualan). Aquí el análisis dimensional es útil para descartar modelos infactibles e identificar ciertos errores de cálculo en los que las dimensiones quedan inconsistentes.

El análisis dimensional como herramienta simplificadora

Las magnitudes físicas están expresadas en función de unas unidades de medida que sirven de elementos de diferencia para las distintas dimensiones; por ejemplo, podemos expresar lo que tardamos en beber un vaso de agua como cierta cantidad de segundos, donde el segundo es la unidad de medida de tiempo. Ahora bien, contamos con que los sistemas físicos son independientes del conjunto de unidades de medida que usamos: a una pelota que rebota en el suelo le importa muy poco si usamos el Sistema Internacional o nos da por expresar las distancias en codos. Esto es algo notabilísimo, ya que permite reducir la complejidad de los modelos físicos. En efecto, como la física es independiente del sistema de unidades, podemos elegir como unidades algunas de las magnitudes del propio modelo físico con el que estamos trabajando. Por ejemplo, digamos que estamos diseñando una bicicleta y queremos determinar la rapidez de avance en función del régimen de pedaleo; tenemos las siguientes variables:

• la frecuencia de pedaleo, f, que es el inverso de un tiempo;
• el radio del plato, r_plato, que es una longitud;
• el radio del piñón, r_piñón, que es una longitud;
• el radio de la rueda, r_rueda, que es una longitud;
• la rapidez de avance, v, que es una longitud dividida por un tiempo.

Simbólicamente, estableceríamos la siguiente relación funcional en la que el símbolo F₁(…) indica una cierta función:

V = F₁(f, r_plato, r_piñón, r_rueda).

Parece que tenemos muchas variables, pero en realidad podemos reducir el tamaño del problema. En efecto, la física no depende del sistema de unidades de medida, así que nada nos impide usar las unidades que nos resulten más convenientes. Podemos tomar como unidad de tiempo el inverso de la frecuencia de pedaleo y como unidad de longitud el radio del plato; de esta manera, eliminamos de un plumazo dos de las cuatro variables independientes. De igual modo que si queremos pasar de usar segundos a usar minutos, lo que hacemos es dividir los tiempos por los segundos que hacen un minuto, aquí dividiremos los tiempos por nuestra nueva unidad de tiempo y las longitudes por nuestra nueva unidad de longitud. Como la rapidez es una longitud dividida por un tiempo, la multiplicamos por nuestra nueva unidad de tiempo y la dividimos por nuestra nueva unidad de longitud. Nos sale lo siguiente:

V ⁄ (f r_plato) = F₂(f ⁄ f, r_plato ⁄ r_plato, r_piñón ⁄ r_plato, r_rueda ⁄ r_plato) = F₂(1, 1, r_piñón ⁄ r_plato, r_rueda ⁄ r_plato) = F₃(r_piñón ⁄ r_plato, r_rueda ⁄ r_plato).

Nuestro problema de diseño es realmente mucho más pequeño con estas nuevas variables. Estas variables, de las que realmente hemos eliminado las dimensiones al dividir por las unidades, son variables adimensionales.

El análisis dimensional como herramienta de reducción de resultados experimentales

Volvamos al caso anterior. Podemos hacer experimentos en los que tendremos valores diferentes de la rapidez, la frecuencia del pedaleo, el radio del plato, el radio del piñón y el radio de la rueda; ahora bien, si construimos variables adimensionales como hicimos arriba, podemos no solamente reducir el número de experimentos que necesitamos, sino que además podemos deducir rápidamente obtendríamos con otras combinaciones de los cuatro parámetros originales que dieran los mismos parámetros adimensionales; lo único que necesitamos es deshacer el cambio.

El análisis dimensional como herramienta predictiva y mnemotécnica

A veces, gracias al análisis dimensional, podemos saber qué forma va a tener la solución de un problema sin llegar a resolverlo. Digamos que tenemos un amplificador de audio al que añadimos un filtro creado con una resistencia y una capacidad. La frecuencia de corte f de nuestro filtro depende de alguna manera de estos dos parámetros. La resistencia es una tensión dividida por una intensidad de corriente, es decir, el producto de una tensión y un tiempo dividido por una carga. La capacidad es una carga dividida por una tensión. Con estos dos datos, sabemos que el producto de la resistencia y la capacidad es un tiempo. Como una frecuencia es el inverso de un tiempo, la frecuencia de corte tiene que ser inversamente proporcional al producto de la resistencia y la capacidad. Si conocemos la frecuencia de corte con una combinación de parámetros, ya sabemos cómo escalaría con una combinación de parámetros diferente.

Categorías: Física

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