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Cómo estimar raíces cuadradas mentalmente

2013-11-30

Las raíces cuadradas de números reales positivos aparecen muy a menudo en muchos problemas prácticos y puede ser muy conveniente saber estimarlas mentalmente con rapidez y un par de cifras significativas. Resulta que tales estimaciones no requieren apenas esfuerzo, tal como vamos a ver.

Algoritmo básico

Si queremos conocer la raíz cuadrada de un número x próximo a un cuadrado conocido b², podemos usar la siguiente aproximación, que es el desarrollo en serie de Taylor de la raíz cuadrada truncado a orden lineal:

√x ≈ b ⋅ [1 + (x−b²) ⁄ (2 b²)].

Si elegimos como bases los cuadrados de los números enteros entre 1 y 10, podemos estimar cómodamente las raíces cuadradas de todos los números entre 1 y 100 con un error relativo inferior al 10 %… ¡hasta el punto de que nunca nos alejaremos de la solución exacta redondeada a dos cifras más de una unidad de la cifra menos significativa! Lo que hacemos es buscar el cuadrado perfecto b² más próximo al número x. El error más grande aparece al calcular raíces cuadradas de números próximos a 2. Podemos trabajar con errores más pequeños sin más que recordar que √2 ≈ 1,4. De esta manera, podemos aproximar la raíz cuadrada de cualquier número entre 1 y 100 con dos cifras y la certeza de que nuestra precisión es más fina que un 6 %, suficiente para que no nos alejaremos de la solución exacta redondeada a dos cifras más de una unidad de la cifra menos significativa. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 3,0 redondeada a dos cifras es 1,7, mientras que el método de aproximación da 1,8; por otra parte, la raíz cuadrada de 2,9 redondeada a dos cifras es 1,7, mientras que el método de aproximación coincide: da 1,7.

¿Qué pasa con raíces de números más pequeños que 1 o más grandes que 100?. Nos limitamos a multiplicar por 100 o dividir por 100 tantas veces como sea necesario para acabar entre 1 y 10 y luego dividimos por 10 o multiplicamos por 10 el resultado final tantas veces como hemos escalado el argumento para compensar.

El algoritmo para el cálculo de una raíz cuadrada √x es el que sigue:

1. n ← 0.
2. x' ← x
3. Si x' < 1:
   1. n ← n−1.
   2. x' ← x' ⋅ 100.
   3. Vuelta al paso 2 del algoritmo.
4. Si x' > 100:
   1. n ← n+1.
   2. x' ← x' ⁄ 100.
   3. Vuelta al paso 3 del algoritmo.
5. b ← entero entre 1 y 10 o bien 1,4 (la raíz cuadrada de 2 redondeada a dos cifras) cuyo cuadrado es el más próximo a x'.
6. √x ≈ 10ⁿ ⋅ b ⋅ [1 + (x'−b²) ⁄ (2 b²)].

Las cuentas pueden acelerarse sin perder precisión apreciablemente si aproximamos los cocientes. Dividir entre 2 ⋅ 7² = 2 ⋅ 49 es casi lo mismo que dividir entre 100 si solamente queremos un par de cifras. De igual manera, dividir entre 2 ⋅ 4² = 2 ⋅ 16 es muy parecido a multiplicar por 0,03.

Primer ejemplo

Vamos a calcular la raíz cuadrada del número 7,3.

1. Nuestro cuadrado perfecto de referencia es 3² = 9, el más próximo a 7,3.
2. La distancia de 9 a 7,3 es 7,3−9 = 1,7.
3. Esta distancia, dividida entre 2 ⋅ 9, es −1,7 ⁄ (2 ⋅ 9) ≈ −0,09.
4. Añadimos 1: 1 − 0,09 = 0,91.
5. Multiplicamos por la referencia, 3: 3 ⋅ 0,91 ≈ 2,7.
6. ¡Nuestra aproximación se parece muchísimo a √7,3 ≈ 2,7019!

Segundo ejemplo

La precisión no tiene por qué ser tan buena, pero siempre nos deja más cerca que un 10 % de la solución exacta. Partamos del resultado anterior: queremos calcular la raíz cuadrada de 2,7.

1. El cuadrado perfecto de referencia es 2² = 4.
2. La distancia es 2,7−4 = −1,3.
3. El cociente de esta distancia y el doble del cuadrado de referencia es −1,3 ⁄ (2 ⋅ 4) ≈ −0,16.
4. Añadimos la unidad: 1 − 0,16 = 0,84.
5. La raíz cuadrada aproximada es este resultado multiplicado por la referencia: √2,7 ≈ 2 ⋅ 0,84 ≈ 1,7.
6. Este resultado difiere en algo menos de un 3,5 % de √2,7 ≈ 1,6432.

Tercer ejemplo

Vamos a calcular la raíz cuadrada de un número un poco más grande, 70.

1. El cuadrado perfecto de referencia es 8² = 64.
2. La distancia es 70−64 = 6.
3. El cociente de la distancia y el doble del cuadrado perfecto de referencia es 6 ⁄ (2 ⋅ 49 ≈ 0,06.
4. Añadimos la unidad: 1 + 0,06 = 1,06.
5. Multiplicamos por la referencia para obtener la raíz cuadrada aproximada: √70 ≈ 8 ⋅ 1,06 ≈ 8,5.
6. Esta solución aproximada difiere de √70 ≈ 8,3666 en menos de un 2 %.

Cuarto ejemplo: un número próximo a 2

Ahora vamos a probar con el número 2,3.

1. Lo aproximaremos a partir de la raíz cuadrada de 1,4² ≈ 2.
2. La diferencia con 2 es 0,3.
3. El cociente de esta diferencia y el doble de 2 es 0,3 ⁄ (2 ⋅ 2) ≈ 0,08.
4. Tras añadir la unidad, queda 1 + 0,08 = 1,08.
5. Esto, multiplicado por la raíz cuadrada aproximada de 2, da √2,3 ≈ 1,4 ⋅ 1,08 ≈ 1,5.
6. Este resultado se aleja poco más de un 1 % del √2,3 ≈ 1,5166.

Quinto ejemplo: un número grande

Ahora supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de 1729.

1. Aproximamos el número a un par de cifras: 1729 ≈ 1700.
2. Dividimos el número entre 100 para estar en el rango de trabajo entre 1 y 100: 1700 = 100 ⋅ 17. Tendremos que incluir un factor 10 en el resultado final.
3. El cuadrado perfecto más próximo es 4² = 16; lo tomamos como referencia.
4. Calculamos la diferencia: 17 − 16 = 1.
5. Dividmos la diferencia por el doble del cuadrado perfecto: 1 ⁄ (2 ⋅ 16) ≈ 0,03.
6. Añadimos una unidad: 1 + 0,03 = 1,03.
7. Multiplicamos por la refrencia: 4 ⋅ 1,03 ≈ 4,1.
8. Multiplicamos por el factor 10 que salió del escalado: √1729 ≈ 10 ⋅ 4,1 = 41.
9. Esto difiere de √1729 ≈ 41,581 en un 1,4 %.

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Categorías: Matemáticas

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