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Transferencia de calor por conducción (2): ley de Fourier

2014-07-31

Con conocimiento de los principios básicos de la transferencia de calor por conducción (uno de los tres principales mecanismos macroscópicos de transferencia de calor), podemos echarle un vistazo a la que posiblemente es la forma más popular de modelarla: la ley de Fourier. Esta ley dice que la densidad de flujo de calor q en un medio material es proporcional al gradiente espacial de la temperatura T:

q ≡ -k ∇T.

En este modelo, la constante de proporcionalidad k (la conductividad térmica) es positiva (de manera que el flujo de calor se opone al gradiente de temperatura) y es una propiedad del material en cuestión. Esta ley es adecuada cuando no hay que tener en cuenta efectos relativistas. Se trata de la ley más sencilla que podemos expresar que refleja como mínimo el comportamiento cualitativo de la conducción de calor:

• la conducción de calor es nula cuando la temperatura es uniforme;
• la conducción de calor depende de las diferencias de temperatura (aquí, a través del gradiente);
• el flujo de calor tiende a oponerse al gradiente de temperatura.

Nada nos impediría probar suerte con modelos más complicados con funciones no lineales del gradiente de temperatura e incluso de derivadas de orden superior, pero en la práctica la ley de Fourier se muestra correctísima y consistente con los resultados que emergen de los estudios de la física microscópica. Hay, no obstante, ciertas generalizaciones que sí son necesarias en muchos casos prácticos.

Generalizaciones

Si el material es homogéneo, la conductividad térmica no depende explícitamente de la posición. Si el material es heterogéneo, esto se refleja en una dependencia espacial explícita de la conductividad térmica. Podemos reflejar la dependencia espacial en medios no homogéneos:

q ≡ −k(x)⋅∇T.

En la anterior expresión, x es la posición en el espacio.

La ley que hemos visto es válida para materiales isótropos. Hay materiales que muestran conductividades diferentes en diferentes conducciones. Esto se da, por ejemplo, en el comportamiento macroscópico de laminados en los que la conductividad en la dirección de las fibras es diferente a la conductividad en la dirección perpendicular a las fibras. Podemos expresar esto todavía con una ley lineal si usamos una matriz de conductividad K:

q ≡ −K⋅∇T.

En un sistema de coordenadas cualquiera, todas las componentes de la matriz son nulas, lo que da acoplamientos entre gradientes térmicos en una dirección y flujos de calor en otra dirección. El material tiene localmente tres direcciones principales en las que no hay acoplamientos; las conductividades en estas direcciones principales son los autovalores de la matriz de conductividad y son positivos para que el calor vaya de zonas de alta temperatura a zonas de baja temperatura.

Otra generalización posible que preserva la cuasilinealidad de la ley consiste en aceptar una dependencia de la conductividad con la tempratura. Estas variaciones con la temperatura se producen normalmente:

• de forma drástica cuando un material cambia de fase;
• de forma suave en rangos de temperatura en los que no hay cambios de fase.

La ley de Fourier queda así en el caso de estos materiales:

q ≡ −k(T) ∇T.

Por supuesto, podemos tener el caso de un medio anisótropo, no homogéneo y no lineal:

q ≡ −K(x,T) ∇T.

Es fácil proponer más generalizaciones. Quizá podríamos tener un material cuya conductividad térmica dependiera de campos externos o de su historia (si quisiéramos modelar la degradación de un material, por ejemplo).

Categorías: Física

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