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Cómo estimar logaritmos decimales mentalmente

2021-06-23

A veces es útil hacer cálculos mentales rápidos que a lo mejor no son muy precisos, pero nos sirven para sacar adelante el trabajo. Vamos a ver una técnica para estimar el valor del logaritmo en base diez de un número real con errores del 5 % o más pequeños.

Dado que ya sabemos estimar logaritmos naturales mentalmente, el logaritmo en base diez es fácil de calcular:

log₁₀(x) = log(x) ⁄ log(10) ≅ log(x) ⁄ 2,3.

Basta estimar el valor del logaritmo natural log(x) mediante el método que estudiamos hace tiempo y dividir entre 2,3.

Aunque este método no es malo, hay uno mucho mejor cuando el argumento es mayor que 10 o menor que 0,1. Veamos cómo funciona paso a paso.

Herramientas de trabajo: un resultado numérico maravilloso, tabla del tres, potencias de diez y potencias de dos

He aquí una maravilla que nos resultará muy útil:

log₁₀(2,00) ≅ 0,300.

Tenemos entre manos una coincidencia a tres cifras significativas con números redondos a más no poder. Buscamos entre una y dos significativas en nuestros resultados finales y números fáciles de manipular, así que nos viene de perlas.

Otra herramienta que necesitamos es la tabla de multiplicar del tres. El número tres aparece obviamente en la igualdad aproximada anterior. Si el incauto lector puede leer este artículo y entender por qué puede ser interesante, entonces es casi seguro que conoce la tabla de multiplicar del tres.

Como trabajamos en base diez, las potencias enteras de diez son triviales de calcular y los logaritmos decimales de potencias enteras de diez también lo son. Las potencias enteras de diez serán otra herramienta de trabajo.

Las potencias de dos serán la última herramienta que vamos a necesitar. Incluso si el incauto lector no tiene interiorizadas las primeras potencias enteras de dos, seguramente podrá calcularlas en el acto.

El algoritmo

Buscamos aproximar con entre una y dos cifras significativas log₁₀(x) para algún x real. Si 0,1 < x < 10, procedemos con el algoritmo basado en el logaritmo natural, ya que en ese rango de valores Si x ≥ 10, utilizamos el siguiente algoritmo:

1. Buscamos la potencia de 2 cuyas cifras más significativas se aproximen mejor a las cifras más significativas de x. Si la potencia es 2^a, nos quedamos con el exponente a.
2. Buscamos la potencia de 10 por la que tenemos que multiplicar 2^a para aproximar x. Si la potencia es 10^b, nos quedamos con el exponente b.
3. El logaritmo decimal es log₁₀(x) ≅ log₁₀(2^a×10^b) ≅ log₁₀(2^a) + log₁₀(10^b) ≅ a×log₁₀(2) + b×log₁₀(10) ≅ 0,3×a − b.

Si hubiera dos potencias de 2 aproximadamente igual de válidas, podríamos aplicar el algoritmo con ambas y tomar el valor promedio.

El método propuesto está mal condicionado cuando el argumento del logaritmo decimal está en el intervalo entre 0,01 y 10, así que en dicho intervalo es recomendable usar otros métodos.

Ejemplos

Busquemos el logaritmo decimal de 15:

1. Como 15 y 2⁴ = 16 tienen casi las mismas primeras dos cifra significativas, tomamos a = 4.
2. Como 15 ≅ 16×10⁰, tomamos b = 0.
3. El resultado es log₁₀(15) ≅ 0,3×4 + 0 ≅ 1,2. El error cometido es del 2 %.

Ahora busquemos el logaritmo decimal de 480:

1. Como 450 y tanto 2² = 4 como 2⁹ = 512 tienen casi las mismas primeras dos cifra significativas, tomamos a = 2 y a = 9.
2. Como 450 ≅ 4×10² y 450 ≅ 512×10⁰, tomamos b = 2 y b = 0.
3. El resultado es log₁₀(450) ≅ 0,3×2 + 2 ≅ 2,6 con un error del 2 % y log₁₀(450) ≅ 0,3×9 + 0 ≅ 2.7 con un error también del 2 %. El promedio es log₁₀(480) ≅ 2,65 y el error cometido es del 0,1 %.

Finalmente, busquemos el logaritmo decimal de 0,27:

1. Como 0,027 y tanto 2⁵ = 32 como 2⁸ = 256 tienen casi las mismas primeras dos cifra significativas, tomamos a = 5 y a = 8.
2. Como 0,027 ≅ 32×10⁻³ y 0,027 ≅ 256×10⁻⁴, tomamos b = −2 y b = −3.
3. El resultado es log₁₀(0,027) ≅ 0,3×5 − 3 ≅ −1,5 con un error del 5 % y log₁₀(0,027) ≅ 0,3×8 − 4 ≅ −1,6 con un error también del 2 %. El promedio es log₁₀(0,027) ≅ −1,55 y el error cometido es del 1 %.

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Categorías: Matemáticas

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