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Cómo estimar senos y cosenos mentalmente

2021-06-29

A veces es útil hacer cálculos mentales rápidos que a lo mejor no son muy precisos, pero nos sirven para sacar adelante el trabajo. Vamos a er una técnica para estimar el valor de las funciones seno y coseno de un número real con un par de cifras significativas.

Propiedades útiles para reducir el dominio de trabajo

Las funciones seno y coseno tienen simetrías que podremos utilizar. En primer lugar, la función seno es impar y la función coseno es impar:

sin(x) = −sin(−x);

cos(x) = cos(−x).

Con esto podemos trasladar el argumento al intervalo 0 ≤ x.

En segundo lugar, son periódicas:

sin(x) = sin(x+2π);

cos(x) = cos(x+2π).

Esta propiedad nos permite trasladar el argumento al intervalo −0 ≤ x ≤ π.

Por otra parte, la función seno es simétrica con respecto al cambio x ← π−x, mientra que la función coseno e antimétrica con repecto a dicho cambio:

sin(π−x) = sin(x);

cos(π−x) = −cos(x).

Con esto, ya trasladamos el argumento al intervalo 0 ≤ x ≤ π ⁄ 2.

Todavía podemos reducir un poco más el dominio en el que debemos calcular los senos y cosenos. Tenemos las siguientes relaciones:

cos[(π ⁄ 2)−x] = sin(x);

sin[(π ⁄ 2)−x] = cos(x).

Con esto, podemos trasladar el argumento al intervalo 0 ≤ x ≤ π ⁄ 4.

Propiedades útiles del seno y el coseno con argumento pequeño

El desarrollo en serie de Maclaurin truncado a orden 1 del seno da resultados correctos hasta dos cifras significativas cuando el argumento es 0 < x ≤ 0,24:

sin(x) ≅ x.

Si el argumento es más grande, hace falta extender el desarrollo en serie a orden 3. La siguiente aproximación da dos cifras significativas correctas en todo el intervalo 0 ≤ x ≤ π ⁄ 4:

sin(x) ≅ x × (1 − x² ⁄ 6).

La siguiente aproximación para el coseno da resultados correctos hasta dos cifras significativas en el intervalo 0 ≤ x ≤ 0,66:

cos(x) ≅ 1 − x² ⁄ 2.

Es una lástima que la aproximación no llegue por tan poco a darnos dos cifras significativas en el intervalo completo. Para completar el intervalo, podríamos llegar a orden 4 en el desarrollo en serie de Maclaurin, pero también podemos alterar nuestra aproximación con una constante mágica que nos da las dos cifras significativas en todo el intervalo 0 ≤ x ≤ π ⁄ 4:

cos(x) ≅ 1 − 0,48x².

Algoritmo

Para estimar las funciones seno sin(x) y span class="math">cos(x) de un número real x, podemos seguir el siguiente algoritmo:

1. Si el valor de x es negativo, aplicamos el cambio x ← −x y anotamos el cambio de signo del resultado final si hemos de calcular el seno.
2. Si el valor de x está fuera del dominio 0 ≤ x ≤ π, lo pasamos a dicho intervalo aplicando repdetidamente el cambio x ← x − 2π.
3. Si el valor de x está fuera del intervalo 0 x ≤ π ⁄ 2, lo pasamos a dicho intervalo aplicando el cambio x ← π − x y anotamos el cambio de signo si hemos de calcular el coseno.
4. Si el valor de x está fuera del intervalo 0 x ≤ π ⁄ 4, lo pasamos a dicho intervalo con el cambio x ← (π ⁄ 2) − x y anotamos que si íbamos a calcular un seno, ahora tendremos que calcular un coseno y que si íbamos a calcular un coseno, ahora tendremos que calcular un seno.
5. Si hemos de calcular un seno, calculamos x × (1 − x² ⁄ 6) (pero podemos omitir el término superlineal si x ≤ 0,24). Si hemo de calcular un coseno, calculamos 1 − 0,48x² (pero podemos sustituir la constante multiplicativa 0,48 si x ≤ 0,66 o incluso quedarnos con 0,99 si x ≤ 0,20).
6. Aplicamos al resultado del paso anterior los cambios de signo anotados. El resultado final es nuestra aproximación del seno o del coseno con dos cifra significativas.

El algoritmo tiene problemas, naturalmente, si el valor absoluto del argumento es muy grande y no es viable trabajar con cifras suficientes para que, tras movernos al dominio 0 ≤ x ≤ π ⁄ 2. Este problema plaga el cálculo numérico de senos y cosenos con una cantidad finita de cifras.

Algunos ejemplos

Digamos que queremos calcular el seno de 0,70. El cálculos como sigue:

1. El argumento x = 0,70 ya está en nuestro intervalo de trabajo, así que no tenemos que hacer cambios.
2. El seno es sin(0,70) ≅ 0,70 × (1 − 0,70² ⁄ 6) ≅ 0,70 × (1 − 0,49 ⁄ 6) ≅ 0,70 × (1 − 0,08) ≅ 0,70 × 0,92 ≅ 0,64 con un error inferior al 1 %.

Ahora calculemos el seno de −8,5. El cálculo es como sigue:

1. El argumento x = −8,5 está fuera de intervalo. Lo cambiamos de signo para convertirlo en 8,5: sin(−8,5) = −sin(8,5).
2. El argumento 8,5 sigue fuera de intervalo. Le restamos 2π para convertirlo en 8,5 − 2π ≅ 2,22: sin(−8,5) = −sin(8,5) ≅ −sin(2,22).
3. El argumento 2,22 está fuera de intervalo. Lo reflejamos con respecto a π para convertirlo en π − 2,22 ≅ 0,92: sin(−8,5) = −sin(8,5) ≅ −sin(2,22) ≅ −sin(0,92).
4. El argumento 0,92 está fuera de intervalo. Lo reflejamos con respecto a π ⁄ 2 para convertirlo en (π ⁄ 2) − 0,92 ≅ 0,65: sin(−8,5) = −sin(8,5) ≅ −sin(2,22) ≅ −sin(0,92) ≅ −cos(0,65).
5. Calculamos la aproximación del coseno: cos(0,65) ≅ 1 − 0,48 × 0,65² ≅ 1 − 0,48 × 0,65² ≅ 1 − 0,20 ≅ 0,80.
6. Aplicamos los cambios de signo necesarios para obtener el resultado final: sin(−8,5) = −sin(8,5) ≅ −sin(2,22) ≅ −sin(0,92) ≅ −cos(0,65) ≅ −0,80. El error vuelve a ser inferior al 1 %.

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Categorías: Matemáticas

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