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Demostración de que uno más uno es igual a dos

2024-08-19

Encontré un chiste que mostraba una pregunta de examen que pedía la demostración de que uno más uno es igual a dos, lo que se suponía que era una tarea formidable. En efecto, la dificultad de la tarea varía mucho en función de cuáles son los axiomas de los que partimos y a qué nos referimos con lo de que «uno» «más» «uno» «es igual a» «dos», y la cosa puede ponerse a niveles de tener que reescribir parte del Principia mathematica, pero si trabajamos con la aritmética de Peano, la demostración es, afortunadamente, muy cortita.

Axiomas de la aritmética de Peano

Los axiomas de Peano definen los números naturales tal como nos son familiares a partir del número 0 (porque sí; también es posible excluir el 0 y partir del 1) y la función sucesor S que da el número natural sucesor a cualquier otro número natural y permite enumerar los números naturales de forma recursiva. En concreto, los números 1 y 2 quedan definidos así:

1 ≝ S(0).

2 ≝ S(S(0)).

Definición de la suma de dos números naturales

La suma de dos números naturales cualesquiera n y m está definida de la siguiente manera:

1. n + 0 = n,
2. n + S(m) = S(n + m).

Uno más uno es igual a dos

Vamos a ver que 1 + 1 = 2. Aplicamos la definición del número 1:

1 + 1 = S(0) + S(0).

Aplicamos la segunda propiedad de la definición de la suma:

1 + 1 = S(0) + S(0) = S(S(0) + 0).

Aplicamos la primera propiedad de la definición de la suma:

1 + 1 = S(S(0) + 0) = S(S(0)).

Finalmente, aplicamos la definición del número 2:

1 + 1 = S(S(0)) = 2∎

Categorías: Matemáticas

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