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Demostración de que dos más dos son cuatro

2024-08-21

El otro día que uno más uno es igual a dos mediante los axiomas de la aritmética de Peano. Hoy vamos a ver cómo podemos deducir, también paso a paso mediante los axiomas de la aritmética de Peano, que dos más dos es igual a a cuatro. Es fácil dar por sentado algo tan elemental como la aritmética y olvidar que todo el edificio está construido tediosamente a partir de principios fundamentales. Los axiomas de Peano son algo potentes; es posible desarrollar la aritmética a partir de axiomas más rudimentarios de forma no ya tediosa, sino tediosísima.

Axiomas de la aritmética de Peano

Los axiomas de Peano definen los números naturales tal como nos son familiares a partir del número 0 (porque sí; también es posible excluir el 0 y partir del 1) y la función sucesor S que da el número natural sucesor a cualquier otro número natural y permite enumerar los números naturales de forma recursiva. En concreto, los números 2 y 4 quedan definidos así:

2 ≝ S(S(0)).

4 ≝ S(S(S(S(0)))).

Definición de la suma de dos números naturales

La suma de dos números naturales cualesquiera n y m está definida de la siguiente manera:

1. n + 0 = n,
2. n + S(m) = S(n + m).

Dos más dos son cuatro

Vamos a ver que 2 + 2 = 4. Aplicamos la definición del número 2:

2 + 2 = S(S(0)) + S(S(0)).

Aplicamos la segunda propiedad de la definición de la suma:

2 + 2 = S(S(0)) + S(S(0)) = S(S(S(0)) + S(0)).

Volvemos a aplicar la segunda propiedad de la definición de la suma:

2 + 2 = S(S(S(0)) + S(0)) = S(S(S(S(0)) + 0)).

Aplicamos la primera propiedad de la definición de la suma:

2 + 2 = S(S(S(S(0)) + 0)) = S(S(S(S(0)))).

Finalmente, aplicamos la definición del número 4:

2 + 2 = S(S(S(S(0)))) = 4∎

Categorías: Matemáticas

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