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Ligeramente más deprisa

2025-08-16

Hace unos días vi una discusión sobre un chiste gráfico. El chiste hablaba de un depredador y una presa que trataba de escapar:

• El depredador dedica un intervalo de tiempo de duración t a perseguir a su presa.
• Durante este intervalo, el depredador siempre se acerca a su presa sin barrera alguna que pueda detenerla.
• El depredador siempre va ligeramente más deprisa que la presa. Es decir, si la rapidez del depredador es v_d y la rapidez de la presa es v_p, entonces se cumple que 0<v_d−v_p≪v_p.
• Si el depredador alcanza a su presa durante el intervalo de tiempo de duración t, la mata.
• Si la presa sobrevive durante el intervalo de tiempo de duración t sin ser alcanzada, el depredador le perdona la vida.
• La presa decide detenerse por completo y así logra salvarse de la muerte inminente.

La validez de la estrategia de detenerse fue motivo de una discusión tan acalorada como estéril. Había dos frentes: el de quienes construían el ir ligeramente más rápido mediante un incremento fijo y el de quienes lo construían mediante un factor multiplicativo. Matemáticamente, eran así:

Incremento fijo:

v_d ≝ v_p+∆v, con el incremento ∆v «pequeño» de alguna manera, pero independiente de v_p. El problema es que esta construcción contradice la definición de «ligeramente más deprisa» cuando v_p ∈ O(∆v) o cuando es más pequeña: en tal caso, v_d−v_p=∆v ∈ O(v_p) o incluso v_d−v_p=∆v ≫ v_p: falla el «ligeramente».

Factor multiplicativo:

v_d ≝ (1+𝜀) v_p, 0<𝜀≪1. El problema es que esta construcción contradice la definición de «ligeramente más deprisa» cuando v_p = 0. En tal caso, v_d−v_p=𝜀 v_p=0: falla el «más».

El problema fundamental está en la definición de ir ligeramente más deprisa y en lo impreciso del lenguaje natural:

0<v_d−v_p≪v_p ∴ 0<v_p.

¡La definición exige que la presa no esté quieta! El lenguaje impreciso deja indefinido lo que sucedería en tal situación.

La construcción del factor multiplicativo es mucho más meritoria que la del incremento fijo. De las dos, es la única que funciona en todo el dominio de v_p en el que la definición de «ligeramente más deprisa» es de aplicación. Si la presa conoce la distancia inicial l al depredador y el factor multiplicativo 1+𝜀, entonces puede garantizar su supervivencia sin entrar en terreno indefinido si logra cumplir la condición 0 < v_p < l ⁄ (𝜀 t). No hace falta detenerse por completo.

Por supuesto, todo esto es muy bonito, pero ni siquiera nos hemos planteado a qué sistema de referencia son relativas las rapideces del depredador y la presa.

Categorías: Matemáticas

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