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La rica tradición cultural del final de octubre y el principio de noviembre

2011-10-31

He aquí una pequeña provocación para los puristas que critican las fiestas paganas de estos días por ser impuestas y no auténticas muestras de la cultura española. Recordemos que la cultura tradicional española es la celta o algo más antiguo y ahora tocan ciertas fiestas agrícolas.

Categorías: Fechas

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Resultados masculinos del Skate Canada 2011

2011-10-31

El campeonato Skate Canada 2011, parte del Grand Prix de patinaje artístico, ha dado unos resultados francamente interesantes en la categoría masculina:

• El oro se lo ha llevado Patrick Chan, la casi impecable arma secreta patinadora de los canadienses. El corto tuvo fallos al principio, pero fue muy potente más allá de esos problemas iniciales. Hubo una pirueta semirreversada, que es algo que se ve más en ruedas. Otra en el largo, que fue imperfecto (con una buena definición gráfica del concepto de caída tonta), pero mejor que el de la plata y el del bronce. Ahora bien, estamos en la cima, así que incluso los fallos son, a menudo, brillantes.
• La plata se la ha llevado Javier Fernández, quien presentó un corto coreográficamente soberbio y en el mismo filo de la perfección técnica y un largo tremendo, pero salpicado de defectos menores en varios saltos (los más graves, un metz demasiado inclinado justo al principio del programa y un axel acabado en caída contra el suelo al minuto de empezar).
• El bronce se lo ha llevado Daisuke Takahashi. El programa corto fue también excelente, lo que es natural, ya que estamos en lo más alto. Atención a la semirreversada en torno al minuto cuarenta segundos; parece que este año pegan fuerte. Hubo otra, por cierto, en el fuerte programa largo que, como el de Javier Fernández, sufrió el lastre de algún que otro accidente.

Categorías: Actualidad, Deporte

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El curioso concepto del horario de verano

2011-10-30

Una incauta lectora me pidió un artículo sobre el cambio de hora. Poco puedo decir que no esté dicho sobre sus ventajas o inconvenientes, siempre en el mismo límite de lo insignificante y el mero ruido de fondo. A falta de un buen análisis, habrá que conformarse con un poquito de acidez. Este artículo sirve para que el incauto lector reflexione un poco. El efecto es, por lo tanto, como el de la filosofía de verdad, pero mucho más superficial.

El concepto del horario de verano es tan ingenioso que es estúpido o tan estúpido que es ingenioso. La idea es ésta: como la distribución a lo largo del día de la iluminación solar y la temperatura ambiental varían en función de la época del año, podemos ahorrar costes sin más que ajustar los relojes de acuerdo a estas variaciones. Otra solución evidente, que consistiría en que cada persona adaptara su horario de acuerdo a sus necesidades pero la referencia de tiempos fuera invariante, queda fuera de consideración, quizá porque, sorprendentemente, podría ser más difícil de aplicar. En unos célebres tebeos franceses ambientados en la conquista romana de la galia, salía un fortísimo y grandote guerrero y fabricante de menhires que, con su sencilla filosofía, decía aquellas famosas palabras:

Están locos estos romanos.

Un famosísimo defensor a ultranza del horario de verano fue el británico William Willet, quien impulsó la alocada idea en la tierra del té de las cinco. Willet afirmaba que el horario de verano hacía posible disfrutar más del ocio en las soleadas tardes estivales. Los somnolientos trabajadores con jornadas prolongadas hasta más allá de las 20:00 podrán soñar con esta gran ventaja.

En la España peninsular, curiosamente, el horario de verano apenas sirve para acercarnos a la configuración de los relojes que nos correspondería por nuestra longitud geográfica. Es de suponer que la península ibérica, al estar en el extremo meridional de Europa, tiene cierta tolerancia adicional al desplazamiento de la zona horaria que la Europa central. Podríamos preguntarnos, no obstante, si no estaremos en una zona subóptima para nuestra situación. Aunque quizá la coordinación horaria con otros países es más significativa que el difícil de detectar efecto agregado de los cambios de zona sin tener tal coordinación en cuenta.

Categorías: Miscelánea

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Adaptador casero para microcontroladores PIC de ocho patillas

2011-10-24

Tenía yo unos microcontroladores PIC de ocho patillas, un programador PICkit 2 y pocas ganas de ocupar espacio en la placa de pruebas con las conexiones para programación en el propio circuito, así que improvisé un humilde y algo chapucero adaptador con un trocito de cartón, zócalos, patillas y un poquito de cable. El resultado tiene un toque tierno que quizá se debe a que está hecho con materiales que iban a la basura. Aquí están las imágenes.

Vista frontal del adaptador. Las correspondencias entre los conectores del programador y los conectores del microcontrolador están indicadas en el cartón.

Vista trasera del adaptador. Sin asistencia, el estaño de soldar no moja el cartón.

Vista frontal del adaptador con un microcontrolador y un programador conectados. El programador tiene una marca con forma de flecha que va enfrentada a la marca correspondiente en el adaptador.

La correspondencia entre los conectores del programador (de 1 a 6, con el 1 donde está la flecha) y el microcontrolador es la siguiente:

Conector 1 del programador

Conector 4 del microcontrolador (VPP)

Conector 2 del programador

Conector 1 del microcontrolador (VDD)

Conector 3 del programador

Conector 8 del microcontrolador (VSS)

Conector 4 del programador

Conector 7 del microcontrolador (ICSPDAT)

Conector 5 del programador

Conector 6 del microcontrolador (ICSPCLK)

Conector 6 del programador

Sin uso

Las conexiones son directas mediante cable.

Un circuito prototipo bien hecho tendría su propia entrada para programación in situ, pero a falta de ello, un poco de improvisación no viene mal.

Este adaptador tiene múltiples aplicaciones. ¡Confunda a sus amigos! Sólo diga: Quizá lo hizo un niño pequeño.

Categorías: Electricidad, DIY

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Día del Mol

2011-10-23

El 23 de octubre entre las 06:02 y las 18:02 se celebra el Día del Mol en clara referencia al número de Avogadro (aproximadamente, 6,02 ⋅ 10²³, el número de partículas que hay en un mol). En este día tan especial se pretende despertar el interés por la bellísima y de infinitas aplicaciones ciencia de la química.

Al incauto lector con poco tiempo pero ganas de hacer algo simbólico en esta fecha tan señalada, le propongo ir a la cocina, escoger algún ingrediente básico como la sal, el azúcar o el aceite y tratar de obtener un mol de partículas de este ingrediente. ¡Puede ser mucha masa con algunos!

180 g de fructosa suman, aproximadamente, un mol. De haber elegido sacarosa, que como es un disacárido tiene una masa molecular más grande, habría sido necesario tomar unos 340 g. Un mol de aceite de oliva habría tenido una masa intermedia, normalmente próxima a los 280 g y que depende de la variedad.

Categorías: Fechas, Química

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Ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos (1)

2011-10-22

∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv⊗v+pI) ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2+p) v ⋅ n dS = 0.

Las anteriores ecuaciones son, interpretados los símbolos de forma adecuada, una de las formas (la forma integral de conservación) adoptadas por las ecuaciones de Euler de la dinámica del fluido no viscoso son un modelo matemático extraordinariamente útil y bello que tiene grandes aplicaciones en campos como el diseño aerodinámico. Sirven para modelar un fluido:

• sin viscosidad;
• sin conductividad térmica;
• sin campos de fuerza (sin efectos gravitatorios, por ejemplo);
• sin reacciones químicas;
• sin transferencia de calor por radiación;
• sin efectos relativistas (mucho más lento que la luz);
• modelable como un medio continuo (así que no valen para atmósferas muy enrarecidas).

Estas hipótesis, aunque parecen restrictivas, son aplicables a muchísimos casos de interés práctico. El aire alrededor de un vehículo con buenas formas aerodinámicas (por ejemplo, un avión) a velocidades no demasiado elevadas, por ejemplo, responde muy bien a las ecuaciones de Euler salvo en regiones muy pequeñas (las capas límite, las estelas y los chorros).

Las ecuaciones de Euler son unas ecuaciones de conservación:

• de conservación de la masa;
• de conservación de la cantidad de movimiento;
• de conservación de la energía.

Vamos a ver cómo deducir su forma. Antes, introduzcamos cierta notación:

• t es el tiempo;
• ρ es la densidad del fluido (depende del tiempo y del punto del espacio);
• v es la velocidad a la que se mueve el fluido (depende del tiempo y del punto del espacio);
• p es la presión (depende del tiempo y del punto del espacio);
• e es la energía interna del fluido por unidad de masa (depende del tiempo y del punto del espacio), es decir, su energía total menos su energía cinética.

Ecuación de conservación de la masa

Centrémonos en una masa de control, una masa determinada del fluido. Por su propia definición, esta masa no varía. La masa M es igual a la integral de volumen de la densidad. La región del espacio ocupada por la masa de control, V_m(t), puede cambiar con el tiempo, pero la masa es fija:
(d⁄dt) M = (d⁄dt) ∫∫∫_Vm(t) ρ dV = 0.
Sólo está indicada la dependencia explícita del tiempo del volumen V_m(t), pero la densidad también depende del tiempo y del espacio. La omisión está hecha con el fin de hacer la notación más simple y se aplicará por igual al campo de velocidades v (de módulo v), al campo de presión p y al campo de energía interna por unidad de masa e.

Campo de velocidades: en cada punto del espacio y en cada instante del tiempo podríamos poner un minúsculo anemómetro imaginario y medir la velocidad del fluido allí. El conjunto de estas velocidades, cada una con su posición espaciotemporal, es el campo de velocidades. La figura muestra, en dos dimensiones, una visión cualitativa de los vectores de velocidad alrededor de un torbellino.

Si aplicamos el teorema del transporte de Reynolds al volumen V (de frontera S y normal a la frontera n), podemos expresar la derivada de la masa de una masa de control (que es nula porque la masa no varía) con lo que pasa en el volumen que ocupa:
(d⁄dt) M = ∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0.
Ésta es la ecuación de la conservación de la masa en forma integral para un volumen de control fijo.

Ecuación de la cantidad de movimiento

La masa de control está sometida a fuerzas exteriores. Por hipótesis, estas fuerzas son sólo las de la presión aplicada en su contorno S_m(t). La segunda ley de Newton, aplicable a la masa de control, dice que la cantidad de movimiento P varía en el tiempo con la fuerza aplicada. La cantidad de movimiento de la masa de control resulta de integrar la cantidad de movimiento por unidad de volumen ρv por todo el volumen ocupado por la masa de control. Con estas condiciones, la segunda ley de Newton queda así:
(d⁄dt) P = (d⁄dt) ∫∫∫_Vm(t) ρv dV = −∫∫_Sm(t) p n dS.
La integral de la presión tiene un signo negativo porque la presión, que siempre actúa en la direccion perpendicular a la superficie, es positiva cuando apunta hacia el interior del volumen (es decir, cuando hay compresión) y la normal n está definida como positiva hacia el exterior.

Esfuerzos de presión (flechas azules) sobre un elemento fluido (mancha gris).

Podemos aplicar el teorema del transporte de Reynolds a cada una de las componentes de la velocidad, con lo que obtenemos tres ecuaciones. Con el fin de ser más escuetos, podemos expresar las ecuaciones de forma vectorial. Queda lo que sigue:
(d⁄dt) P = ∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv) v ⋅ n dS = −∫∫_S p n dS.
Ésta es la ecuación de la cantidad de movimiento escrita en forma integral para un volumen de control fijo.

Ecuación de la energía

La última ecuación que necesitamos es primer principio de la termodinámica, que en una de sus formas dice que la energía total E, suma de la energía interna y la energía mecánica, es igual a la suma del calor y el trabajo aportados por el exterior. Por hipótesis, no hay más energía mecánica en el fluido que la cinética. La energía total será, por lo tanto, la integral de las energías interna y cinética por unidad de volumen en la región ocupada por la masa de control. También por hipótesis, no hay calor aportado por el exterior (que se transmitiría por conducción o radiación) y el trabajo es el de la única fuerza, la de presión. La variación de la energía total con el tiempo es igual a la potencia de estas fuerzas de presión. Por lo tanto, obtenemos esta expresión de la ecuación de la energía:
(d⁄dt) E = (d⁄dt) ∫∫∫_Vm(t) (ρe+ρv²⁄2) dV = −∫∫_Sm(t) p n ⋅ v dS.
El criterio de signos, como antes, nos obliga a poner un menos delante del término de la presión.

Ahora apliquemos, como antes, el teorema del transporte de Reynolds para ver lo que pasa en un volumen de control fijo. Nos queda esta ecuación:
(d⁄dt) E = (d⁄dt) ∫∫∫_V (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2) v ⋅ n dS = −∫∫_S p n ⋅ v dS.
Ésta es la ecuación de la energía escrita en forma integral para un volumen de control fijo.

Todo junto

Reunamos las ecuaciones de la conservación de la masa, de la cantidad de movimiento y de la energía. Si introducimos las magnitudes tensoriales I (el tensor unitario tal que I ⋅ n para cualquier vector n) v⊗v (el producto tensorial de la velocidad por sí misma), podemos escribir las ecuaciones de Euler completamente en forma de conservación: lo que varía una magnitud en un volumen es compensado por unos flujos a través de la frontera de este volumen.

∫∫∫_V (∂⁄∂t) ρ dV + ∫∫_S ρ v ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρv) dV + ∫∫_S (ρv⊗v+pI) ⋅ n dS = 0
∫∫∫_V (∂⁄∂t) (ρe+ρv²⁄2) dV + ∫∫_S (ρe+ρv²⁄2+p) v ⋅ n dS = 0.

La anterior forma de expresar las ecuaciones de Euler es muy útil y general. Vale para situaciones en las que hay superficies de discontinuidad (como las ondas de choque) que otras formulaciones, debido a que asumen cierta suavidad de las soluciones, no pueden modelar. Varias familias de métodos numéricos de volúmenes finitos de alta resolución para resolver problemas de mecánica de fluidos sin viscosidad están basados en esta forma de expresar las ecuaciones de Euler.

Tenemos tres ecuaciones, pero hay cuatro campos incógnita (el de densidad, el de velocidad, el de presión y el de energía interna). La ecuación adicional para resolver el problema, la ecuación de cierre, es una ecuación constitutiva que suele relacionar presión, densidad y energía interna. En el caso de gases, es a menudo de aplicación la ley de los gases ideales junto con una relación lineal entre la temperatura y la energía interna. En el caso de líquidos ideales, la densidad es constante, lo que elimina trivialmente una de las incógnitas y permite resolver primero las ecuaciones de la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento y, después, la de la energía.

Con las condiciones iniciales y de contorno adecuado y la ecuación constitutiva adecuada la aplicación de las ecuaciones de Euler a volúmenes arbitrarios permite resolver el problema de la evolución de un fluido simple no viscoso. El lector avispado podrá darse cuenta de que, en realidad, si nos encontramos superficies de discontinuidad, entonces hay soluciones múltiples. Esto se debe a las simplificaciones que hemos hecho al no tener en cuenta fenómenos difusivos como la viscosidad. Veremos más adelante cómo podemos usar el segundo principio de la termodinámica para elegir la solución adecuada sin necesidad de emplear modelos matemáticos más complicados.

Las ecuaciones de Euler son una herramienta de trabajo que usan a diario aerodinamistas de todo el mundo para producir vehículos más rápidos, seguros y eficientes.

Otros artículos sobre las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos

• Las ecuaciones en forma diferencial de conservación.
• Las ecuaciones en forma diferencial de no conservación.

Categorías: Física, Matemáticas

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Es legítimo protestar sin importar a favor de quién se vota

2011-10-20

Llegan las elecciones, la gente vota o no vota y después tenemos otros cuatro años de abusos, promesas incumplidas y, para empeorar las cosas, estulticias como ésta:

Tú no tienes derecho a quejarte porque votaste a favor de este tipo.

O como ésta:

Tú no tienes derecho a quejarte porque no votaste.

Así que ahora las personas no importan, sino que importa una extraña y caprichosa justicia cósmica a la que debemos satisfacer. ¡Paparruchas! Se vote o no se vote, se vote a quien se vote, defiendo que todos, ¡todos!, todos estamos legitimados a protestar si las cosas van mal:

• porque la democracia no consiste en callarse ante lo que uno considera injusto sólo porque el representante que recibió el apoyo de parte de la población (en general, de una minoría que, no obstante, fue más grande que las demás minorías cuyos votos fueron tenidos en cuenta);
• porque las personas aprenden, sus opiniones evolucionan y pueden incluso darse cuenta de que cometieron un error si es que realmente lo hicieron;
• porque la realidad política a menudo no tiene parecido alguno con lo prometido al electorado;
• porque el mundo cambia, las situaciones cambian;
• porque es perjudicial e innecesario forzar a alguien a cargar con lo inaceptable sólo por aquéllo por lo que votó o dejó de votar;
• porque quien no vota puede hacerlo con convicción, porque ninguno de los grupos políticos disponibles se merece el voto;
• porque nuestro objetivo ha de ser buscar nuestro propio bien y el bien común.

Categorías: Miscelánea

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Manifestaciones por el cambio global del 15 de octubre de 2011: fotografías de Madrid

2011-10-16

Varios manifestantes sostienen un cartel. Dice así: Unidos por un cambio global. Debajo pone lo mismo en inglés.

El 15 de octubre de 2011 hubo manifestaciones convocadas en cientos de ciudades de todo el mundo con el fin de exigir el fin de la plutocracia y de la pérdida de derechos de los ciudadanos. Estuvimos en la de Madrid, donde acudió aparentemente mucha más gente que a la manifestación del 15 de mayo. No pude ver los extremos, así que no hubo manera de contar los asistentes. Ante la imposibilidad para avanzar cerca de Sol, la marcha se dividió en varias ramas que salían por las calles anexas a la de Alcalá.

Carteles

Sin más dilación, he aquí una pequeña selección de los carteles vistos en la manifestación.

Carteles varios.

Cartel. Dice así: Contra el cinismo de las élites políticas y financieras.

Cartel. Dice así: Democracia no es que te cuenten, es que te tengan en cuenta.

Cartel. Dice así: El sistema actual no funciona. Unidos por un cambio global.

Cartel. Dice así: El virus del bipartidismo impide la actualización. ¿Reiniciar el sistema?

Cartel. Dice así: Estoy concentrado; no me detengan. Sale un cartón antropomórfico de zumo concentrado.

Cartel. Dice así: Globalice human rights.

Cartel. Dice así: Lo imposible sólo tarda un poco más.

Cartel. Dice así: No hay futuro; hazlo tú mismo.

Cartel. Dice así: No más mentiras… que sabemos la verdad.

Cartel. Dice así: No nos mires; únete. Es un chiste gráfico que hace referencia tanto a la habitual expresión entonada en manifestaciones como a un conocido personaje cinematográfico.

Cartel. Dice así: No podemos apretarnos el cinturón y bajarnos los pantalones al mismo tiempo.

Cartel. Dice así: No somos de derecha ni de izquierda; somos esclavos contra los tiranos.

Cartel. Dice así: No son recortes; es un expolio.

Cartel. Dice así: Nuestros sueños no caben en vuestras urnas.

Cartel. Salen dos personajes, un niño y un adulto, que mantienen un diálogo. El niño dice esto: Papá, ¿robar es un delito? El padre contesta: Sólo para los pobres, hijo. Ambos personajes sujetan un cartel en el que pone lo siguiente: Estamos cambiando el mundo; disculpen las molestias.

El número satírico de «pasar por el aro» que ya pudimos ver en la manifestación contra el Pacto del Euro de hace unos meses.

Cartel. Dice así: Pienso, luego molesto.

Cartel con una definición. Dice así: Plutocracia: preponderancia de los ricos en el gobierno del Estado o predominio de la clase más rica de un país. ¡No lo permitas!

Cartel. Dice así: ¿Por qué tengo que sobrevivir cuando lo que quiero es vivir?

Cartel. Dice así: Privatizar, prostituir, prometer, silenciar, oprimir, engañar. Hay unas siglas acrósticas en una clara referencia al bipartidismo.

Cartel con una pregunta importante. Dice así: ¿Qué vais a hacer cuando no quede más para robar?

Cartel. Dice así: Sal a la calle, crea otro mundo.

Cartel. Dice así: Sin luchar, ¿qué tendrás?

Cartel. Dice así: Sólo los peces muertos siguen la corriente.

Cartel. Dice así: Somos el noventa y nueve por ciento del pueblo hartos del uno por ciento de los poderosos.

Cartel muy poético. Dice así: Somos una poesía, un arco de colores diversos, un David frente a un insolente Goliat, la suavidad del agua frente a la dureza de la roca. Somos la fuerza de lo débil. Somos todo esto y mucho más.

Cartel. Sale un muchacho que amenaza con arrojar un libro. Unos policías, alarmados, gritan: ¡Tiene un libro! ¡Tiene un libro!

Cartel. Dice así: Uno por ciento, vamos por ti.

Cartel. Dice así: Ya toca romper la hucha. Salen tres huchas con forma de cerdito con sendos sombreros con los que parecen representar los tres grandes poderes coercitivos: el económico, el religioso y el estatal.

Reivindicaciones específicas

Hubo muchas reivindicaciones relacionadas con lo que sucede no sólo en el mundo, sino en España en general y en Madrid en particular. Por ejemplo, sonaron muchas cancioncitas críticas con las privatizaciones de sanidad y educación. También había carteles contra estos procesos de privatización.

Cartel. Dice así: No a la privatización en bibliotecas. Las bibliotecas no son un gasto; son una inversión.

Una mujer sostiene un botijo con el lema de la Plataforma contra la privatización del Canal de Isabel II. No aparece en la fotografía, pero en el botijo había otra inscripción: Agua pública.

Guy Fawkes, Anonymous et al.

Como es habitual, había personas con caretas de Guy Fawkes y banderas de Anonymous.

Bandera de Anonymous.

Varios manifestantes con las populares caretas de Guy Fawkes que gustan llevar quienes actúan bajo el nombre de Anonymous. Llevan un cartel con cuatro hojitas verdes que, sin duda, los habituales de cierto foro de imágenes reconocerán. El comentario es obligado: You are doing it wrong, anon!

Categorías: Actualidad, Derechos, Madrid

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International Suit Up Day

2011-10-13

Hoy es el International Suit Up Day, es decir, el día de ponerse traje. Hay que ir bien vestido, con elegancia, con traje.

Según me cuentan, esta celebración es un homenaje a una popular telecomedia en la que un personaje va siempre bien vestido y acostumbra a recomendar a todo el mundo que se ponga traje (suit up).

Categorías: Fechas

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Derivada convectiva

2011-10-04

Sigue avanzando esta suerte de cursillo acelerado de conceptos de mecánica de medios continuos para lectores incautos que no le hacen ascos a un poquito de matemáticas.

La derivada convectiva es una generalización de la derivación con respecto del tiempo que se usa mucho en mecánica de medios continuos (como la mecánica de fluidos). Ayer vimos la diferencia entre las descripciones lagrangiana y euleriana. La derivada convectiva relaciona el ritmo de variación con el tiempo de una propiedad de una partícula material (es decir, en la descripción lagrangiana) con el ritmo de variación temporal de la propiedad instantánea en un punto fijo del espacio (es decir, en la descripción euleriana).

La derivada sustancial o convectiva, con la notación que introduciremos más adelante, tiene este aspecto tan vistoso:
D ⁄ Dt = ∂ ⁄ ∂t + v ⋅ ∇.
No es más que una de las muchas generalizaciones del concepto de derivada que aparecen a menudo en problemas de la física matemática.

La derivada temporal en la descripción lagrangiana y en la descripción euleriana

Fijemos nuestra atención en una partícula material, es decir, adoptemos una descripción lagrangiana. La partícula material está identificada por su posición de partida X₀. La partícula material tiene una propiedad C_l(t,X₀). Para fijar ideas, podemos suponer que esta propiedad es la temperatura de una partícula de aire. Esta propiedad varía al transcurrir el tiempo con un ritmo (d ⁄ dt)C_l(t,X₀).

Ahora fijemos nuestra atención en un punto fijo del espacio, es decir, adoptemos una descripción euleriana. Este punto está identificado mediante el símbolo x. En cada instante, nuestro punto del espacio está ocupado por una partícula material, pero las partículas materiales pueden moverse, así que la que ocupa el punto fijo del espacio puede variar con el tiempo. Podemos asignarle una propiedad C_e(t,x) a nuestro punto fijo; esta propiedad es la de la partícula material que lo ocupa en cada instante. Para fijar ideas, podemos suponer que esta propiedad es la temperatura medida por un termómetro fijo metido dentro de una corriente de aire. El ritmo de variación temporal de la propiedad del punto es (∂ ⁄ ∂t)C_e(t,x).

Hemos definido la derivada temporal de la partícula material (la de la descripción lagrangiana) y la derivada temporal del punto fijo en el espacio (la de la descripción euleriana). En un momento dado, la partícula material X₀ puede ocupar el punto del espacio x. En ese momento, la propiedad del punto, C_e(t,x) es la de la partícula que lo ocupa, C_l(t,X₀). Las derivadas temporales, en cambio, no tienen por qué ser iguales. Esto no es sólo obvio matemáticamente (tenemos dos funciones distintas que sólo coinciden en un instante dado); podemos comprobar esto con un sencillo experimento mental con el ejemplo del aire y el termómetro fijo. En efecto, supongamos que justo tras la partícula de aire que estamos estudiando viene otra mucho más caliente; en tal caso, la medida del termómetro subirá muy deprisa, pero la partícula de aire original se calienta muy despacio, ya que tiene muy mala conductividad térmica.

En el instante t, la partícula fría se encuentra a la altura del termómetro fijo. En el instante t + dt, la partícula caliente ha pasado a ocupar su lugar. El termómetro se ha calentado muy deprisa, pero cada partícula conserva su temperatura.

Relación entre las dos derivadas: la derivada convectiva

Las partículas materiales se mueven. En cada punto x podemos medir la velocidad instantánea de la partícula que lo ocupa y definir, con ello, un campo de velocidades v(t,x). Los puntos del espacio están fijos; el campo de velocidades es la velocidad a la que las particulas materiales atraviesan cada punto.

Fijémonos en un punto fijo del espacio, x. En el instante t, sus propiedades son C_e(t,x). Tras un cortísimo espacio de tiempo dt, sus propiedades habrán pasado a valer
C_e(t+dt,x) = C_e(t,x) + (∂ ⁄ ∂t)C_e(t,x) dt.
De igual manera, si mantenemos fijo el tiempo y pasamos a medir a un punto próximo x + dx (separado por una distancia infinitesimal), las propiedades pasan a valer
C_e(t,x+dx) = C(t,x) + ∇C(t,x) ⋅ dx.

Fijémonos en la partícula material X₀. En el instante t, ocupa la posición del espacio x y se mueve con velocidad v(t,x). Tras un cortísimo espacio de tiempo, en el instante t + dt, pasa a la posición x + v(t,x) dt, es decir, experimenta un desplazamiento infinitesimal
dx = v(t,x) dt.
Sus propiedades pasan del valor
C_l(t,X₀) = C_e(t+dt,x+dx).
Con lo que sabemos del párrafo anterior, deducimos que el incremento dC_l(t,x) de las propiedades entre ambos instantes es
dC_l(t,x) = (∂ ⁄ ∂t)C_e(t,x) dt + ∇C_e(t,x) ⋅ v(t,x) dt.
Si dividimos entre el incremento infinitesimal de tiempo dt, obtenemos la relación entre la derivada temporal de la partícula material y las derivadas parciales temporal y espacial de la descripción euleriana:
(d ⁄ dt)C_l = (∂ ⁄ ∂t)C_e + v ⋅∇C_e ≡ (D ⁄ Dt)C_e.
Hemos introducido el símbolo
D ⁄ Dt ≡ (∂ ⁄ ∂t) + v ⋅ ∇
para referirnos a la derivada convectiva o derivada sustancial. Este nombre viene se debe al término dependiente de la velocidad, el término convectivo, que es el que describe los cambios de las propiedades en un punto debido al desplazamiento de las partículas materiales, es decir, la convección. Hay autores que usan otros nombres.

Fuente de no linealidades

La derivada temporal habitual es un operador lineal con todas sus útiles propiedades: la derivada de una suma es la suma de las derivadas, la derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función… Si el campo sometido a la derivada convectiva no tiene términos en la velocidad, entonces la operación también es lineal, aunque probablemente no es invariante frente a traslaciones. Si el campo sometido a la derivada convectiva tiene términos en la velocidad (por ejemplo, si estamos usando las leyes de Newton que relacionan el ritmo de variación temporal de la velocidad con las fuerzas aplicadas), en cambio, la derivada convectiva pasa a ser un operador no lineal, fuente de complejidad y quebraderos de cabeza para quien quiere resolver las ecuaciones. Esta no linealidad, por supuesto, sólo es una manifestación de la misma no linealidad que aparecería en otra parte, probablemente de forma implícita, en las ecuaciones planteadas con una descripción lagrangiana (por ejemplo, los esfuerzos viscosos, que en un fluido newtoniano dependen linealmente del gradiente de velocidad, tienen una expresión complicada y dependiente de la historia del fluido en la descripción lagrangiana). En las no linealidades está, no obstante, la chispa que hace que el universo se comporte de forma tan interesante.

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Descripción lagrangiana y descripción euleriana

2011-10-03

Las descripciones lagrangiana y euleriana son dos formas de ver la mecánica de medios continuos. La descripción lagrangiana consiste en hacer un seguimiento de las partículas materiales, mientras que la descripción euleriana consiste en medir lo que pasa en puntos fijos del espacio. Ambas descripciones son equivalentes y a veces una es más cómoda de usar que la otra.

En el último artículo introdujimos los conceptos de masa de control y volumen de control. Al estudiar una masa de control, estudiamos un fragmento del material y seguimos su movimiento. Al estudiar un volumen de control, estudiamos lo que atraviesa una parcela del espacio. El enfoque de las masas de control es el enfoque lagrangiano, mientras que el enfoque de los volúmenes de control es el euleriano. Estos enfoques sirven para todo. Por ejemplo, veamos cómo podemos estudiar los artículos que llevan los clientes de un supermercado:

Descripción lagrangiana

Podemos seguir a cada cliente. A cada uno le ponemos una etiqueta mental (su nombre, por ejemplo). De esta manera, podemos preguntarnos dónde está cierto cliente en un momento determinado y qué artículos lleva encima.

Descripción euleriana

Podemos quedarnos en lugares fijos del espacio, tales como las cajas. Estos lugares son fáciles de etiquetar e identificar en un plano del edificio. De esta manera, podemos preguntarnos, por ejemplo, qué artículos hay en la cinta transportadora de cierta caja.

Ambas descripciones son equivalentes.

La descripción lagrangiana adopta el punto de vista del material o, en nuestro ejemplo, de los clientes del supermercado.

La descripción euleriana adopta el punto de vista del espacio fijo. En nuestro ejemplo, puede ser lo que ve una videocámara colgada de la pared.

Extendamos el anterior ejemplo a un caso general con un poquito de matemáticas.

Descripción lagrangiana

Supongamos que tenemos un conjunto de objetos materiales (como un continuo de puntos materiales o los clientes de un supermercado). A cada uno le asignamos una etiqueta mental. Esta etiqueta será la posición (en cierto instante de referencia) de cada objeto material, X₀. A la posición del objeto X₀ la llamaremos X(t,X₀). Cada objeto material tendrá unas propiedades (tales como su temperatura o los artículos que porta en la cesta de la compra) que pueden variar con el tiempo t y que denotarmeos mediante el símbolo C_l(t,X₀).

Trayectoria de una partícula como función de su posición inicial y del tiempo.

Descripción euleriana

Ahora vamos a estudiar no los objetos materiales, sino los puntos x del espacio. Cada uno de estos puntos puede estar ocupado por un objeto material con ciertas propiedades y podemos describir, por lo tanto, las propiedades presentes en el punto del espacio x en el instante t mediante el símbolo C_e(t,x).

Relación entre ambas descripciones

Al menos de forma simbólica, podemos establecer rápidamente de qué forma están relacionadas las descripciones lagrangiana y euleriana. Supongamos que la partícula X₀ ocupa en el instante t la posición X(t,X₀) = x. Las propiedades de la partícula según la descripción lagrangiana son las propiedades del punto según la descripción euleriana:
C_l(t,X₀) = C_e(t,X(t,X₀)).

De igual manera que la trayectoria de las partículas X(t,X₀) nos sirve como una aplicación que pasa del espacio de las etiquetas asociadas a los puntos materiales (es decir, sus posiciones iniciales X₀) al espacio de los propios puntos x, podemos hacer la transformación inversa, al menos si no hay fenómenos singulares tales como el colapso de dos partículas materiales y su unión en una única partícula. Formalmente y con cierto abuso de notación, podemos escribir esta transformación inversa así:
X⁻¹(t,x) = X₀.
De esta manera, establecemos la equivalencia entre las dos descripciones:
C_e(t,x) = C_l(t,X⁻¹(t,x)).

Las transformaciones directa e inversa, es decir, las trayectorias de las partículas en función del tiempo o las posiciones iniciales de las partículas en función de sus posiciones finales en cierto instante, no suelen ser conocidas de antemano, sino que suelen ser parte de la solución del problema.

Muchos modelos físicos son relativamente fáciles de plantear con una descripción y difíciles de plantear con la otra. Por ejemplo, los modelos de mecánica de fluidos suelen prestarse muy bien a la descripción euleriana, mientras que los de grandes deformaciones de cuerpos sólidos suelen ser más cómodos de tratar con una descripción lagrangiana.

Descripciones mixtas

A veces, sucede que resulta conveniente combinar la descripción lagrangiana y la descripción euleriana. Por ejemplo, si queremos estudiar la caída de la nieve, podemos diseñar un modelo matemático en el que los copos de nieve son pequeñas partículas puntuales a las que seguimos con una descripción lagrangiana, mientras que la parte gaseosa de la atmósfera es un gas continuo que estudiamos mediante una descripción euleriana. También sucede a menudo en problemas de interacción fluido-estructura que el medio fluido se deja atacar mediante una descripción euleriana y la estructura, en cambio, se resiste mucho menos a una descripción lagrangiana.

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