Principio de Bernoulli
2010-04-18
El principio de Bernoulli es una sencilla relación matemática que relaciona los cambios en la energía cinética, la energía potencial y la presión en un fluido en el que no hay disipación. El principio de Bernoulli para un fluido incompresible (el agua e incluso el aire a baja velocidad se asemejan mucho al modelo de fluido incompresible) y en ausencia de campos de fuerzas (sin gravedad) y en condiciones estacionarias (la distribución de velocidades del fluido por todo el espacio no cambia con el paso del tiempo) tiene el siguiente aspecto:
p + ρ v2 ⁄ 2 = constante
- p ≡ presión;
- ρ ≡ densidad;
- v ≡ rapidez.
Variación de la presión en función de la rapidez para un fluido
incompresible en ausencia de campos de fuerzas.
Esta ecuacioncita algebraica y diminuta tiene un tremendo poder simplificador. En aerodinámica de aviones a baja velocidad, por ejemplo, uno puede obtener casi toda la información que puede desear simplemente resolviendo el sencillo problema cinemático de encontrar cierto campo de velocidades que cumple ciertos criterios sencillos y luego aplicar la anterior ecuación para deducir el campo de presiones del aire.
Si el fluido sigue siendo incompresible y estando en condiciones estacionarias pero ahora hay un campo de fuerzas potenciales, el principio de Bernoulli sigue adoptando una forma muy sencilla:
p + ρ v2 ⁄ 2 + ρ U = constante
U es la energía potencial por unidad de masa. Si no nos movemos mucho, el campo gravitatorio tiene una aceleración de magnitud casi constante g y apunta hacia abajo; su energía potencial por unidad de volumen es U = g z, donde z es la coordenada según la dirección vertical positiva hacia arriba.
Bernoulli dedujo el principio que lleva su nombre sólo para líquidos incompresibles, pero es posible generalizarlo para fluidos compresibles. La forma de la ecuación resultante depende del modelo de comportamiento del fluido. Para un gas ideal, tiene el siguiente aspecto:
v2 ⁄ 2 + a ⁄ (γ − 1) + U = constante
Hay una variable nueva: a, la velocidad del sonido, que suele valer unos 340 m ⁄ s al nivel del mar y es variable como v y U. La constante γ es la relación de calores específicos, una propiedad termodinámica del gas. Para el aire fresquito que hay en capas bajas de la atmósfera terrestre, su valor es aproximadamente igual a 1,4.
Deducción del principio de Bernoulli
Veamos cómo podemos deducir el principio de Bernoulli a partir del primer principio de la termodinámica, el que dice que las variaciones de la energía cinética se deben al trabajo de las fuerzas aplicadas. En aras de una explicación sencilla, sólo vamos a deducir el principio de Bernoulli para un fluido incompresible de densidad uniforme en régimen estacionario en presencia de fuerzas directamente aplicadas que derivan de un potencial. No hay fuerzas disipativas: aparte de las fuerzas que derivan del potencial, sólo actúa la presión.
Vamos a estudiar lo que le pasa a un elemento de fluido, una minúscula cajita fluida de densidad ρ y volumen V. La cara del elemento fluido tiene superficie A y la arista tiene longitud l. El elemento de fluido es infinitesimalmente pequeño. Este elemento de fluido parte de un estado 1 y acaba en un estado 2. Usaremos subíndices numéricos para identificar los estados.
Elemento de fluido sometido a presión constante sobre sus paredes.
Variación de la energía cinética
El incremento de energía cinética es muy fácil de calcular. La energía cinética es la mitad de la masa multiplicada por el cuadrado de la rapidez. El incremento de energía cinética ΔE es:
ΔE = (ρ V ⁄ 2) ((v2)2 − (v1)2)
Trabajo de las fuerzas que derivan de un potencial
Las fuerzas directamente aplicadas son de dos tipos: unas derivan de un potencial (se dice que son conservativas) y las otras se deben a la presión. En primer lugar, calculamos el trabajo de las que derivan de un potencial. Es muy fácil: el trabajo de las fuerzas que derivan de un potencial es igual a la variación de la energía potencial con el signo cambiado. Por lo tanto, el trabajo ΔWc de las fuerzas conservativas es:
ΔWc = ρ V (U1 − U2)
Recordemos que habíamos definido U como la energía potencial por unidad de masa; por eso hemos multiplicado por la masa ρ V del elemento de fluido.
Trabajo de la presión
Esta parte require un poquito de astucia, pero sólo un poquito. El elemento fluido es tan pequeño que la presión inmediatamente alrededor de él puede considerarse constante. Se mueve describiendo una curva, pero supondremos que esta curva es un segmento recto y perpendicular a las caras anterior y posterior del elemento fluido. Esto simplifica las cuentas y los dibujos; el incauto lector puede comprobar fácilmente que el principio sigue siendo válido en el caso general.
Cuando el elemento fluido avanza, la cara anterior barre un camino con la presión dirigida en un sentido. Al avanzar un poco más, la cara posterior va barriendo el mismo camino, pero con la presión dirigida en sentido contrario. El trabajo es la fuerza sobre el camino recorrido, así que lo que la presión en una cara da, la presión en la otra cara lo deshace. Al comienzo del viaje hay un pedacito de camino que sólo barre la cara posterior, mientras que al final del viaje hay un pedacito de camino que sólo barre la cara anterior. Como la distancia recorrida en cada uno de estos pedacitos de camino es muy corta, la presión no varía y su trabajo es igual a la fuerza (el producto de la presión p y la superficie A de la cara del elemento de fluido) multiplicada por la distancia recorrida (igual a la longitud l de la arista del elemento de fluido); el signo de la constribución es positivo para la cara posterior y negativo para la cara anterior porque, si la presión es negativa, su efecto es el de empujar las caras del elemento de fluido. El trabajo ΔWp de la presión se debe a los pedacitos de camino de los extremos 1 (en el que contribuye la cara posterior) y 2 (en el que contribuye la cara anterior) y es:
ΔWp = A l (p1 − p2)
El elemento de fluido se mueve desde la posición 1 hasta la posición 2.
En el volumen rayado, el trabajo que realiza la presión de la cara
posterior anula el trabajo que realiza la presión de la cara anterior.
La presión sólo trabaja en las regiones sin rayar de la posición
1 y la posición 2.
Todo junto
El primer principio de la termodinámica dice que el incremento de la energía cinética es igual al trabajo de las fuerzas exteriores:
ΔE = ΔWc + ΔWp
Si juntamos las expresiones anteriormente deducidas para ΔE, ΔWc y ΔWp, dividimos por la masa ρ V = ρ A l y reorganizamos términos, queda la ecuación de Bernoulli para el fluido incompresible en régimen estacionario en presencian de un campo de fuerzas conservativas:
(v1)2 ⁄ 2 + p1 ⁄ ρ + U1 = (v2)2 ⁄ 2 + p2 ⁄ ρ + U2
Aplicaciones
El principio de Bernoulli tiene una aplicación muy útil: medir la rapidez con la que se mueve un avión en relación al viento. Esto se hace con un tubo de Prandtl que mide la presión estática (la presión del aire sin frenar) y la presión de remanso (es decir, la presión del aire tras frenarlo suavemente hasta que acompaña al avión). La variación de la energía potencial es despreciable. Conocidas las presiones y la celeridad de remanso (que es nula), descubrir la rapidez aerodinámica del avión es sólo cuestión de despejar.
El principio de Bernoulli sirve para explicar cómo funciona un ala a partir de la cinemática del viento alrededor de ella. La forma del ala es tal que la corriente se mueve más deprisa por encima de ella y más despacio por debajo. Por el principio de Bernoulli, la presión es más baja en la cara superior del ala y más alta en la cara inferior; esto da lugar a una fuerza resultante positiva hacia arriba: la fuerza de sustentación.
Categorías: Física
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