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Ley de gravitación universal (3)

2011-03-22

Hemos visto recientemente tanto una forma muy elemental como otra un poquito más sofisticada de plantear la ley de gravitación universal a partir de ciertas hipótesis sencillas. Hoy vamos a ver una tercera y elegantísima manera. Jugamos con la ventaja de saber que el resultado que vamos a alcanzar (la muy conocida ley de gravitación universal) es un modelo de la realidad lo bastante bueno como para ser utilizado de forma rutinaria en numerosas aplicaciones prácticas.

Vamos a utilizar un principio de acción estacionaria, que es una forma muy útil de construir modelos físicos.

El presente artículo forma parte de una serie. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir la ley de gravitación universal:

• mediante un argumento sencillo de conservación y simetría;
• mediante ecuaciones de conservación o equilibrio para el potencial gravitatorio;

Fuerza de gravedad, campo gravitatorio y potencial gravitatorio

Recordemos rápidamente los siguientes conceptos:

• Los cuerpos con masa están sometidos a una fuerza gravitatoria F que los atrae a otros cuerpos con masa.
• Podemos definir, por lo tanto, un campo de aceleraciones —el campo gravitatorio— g(x) que permea el espacio tal que si un cuerpo de masa m se encuentra en el punto x, experimenta una fuerza gravitatoria F = m g(x).
• Por hipótesis, suponemos que el campo gravitatorio se deriva de un potencial escalar φ(x):
  g(x) = −∇φ(x).
  Esto es equivalente a decir que el campo gravitatorio es irrotacional o que la fuerza de gravedad es conservativa, una hipótesis razonable que simplifica mucho los cálculos y se verifica experimentalmente con un grado de aproximación excelente.
• La masa actúa de fuente del campo gravitatorio.
• En el presente modelo newtoniano, el campo se propaga más rápido que cualquier fenómeno de interés y alcanza un estado estacionario al instante. El campo gravitatorio puede variar con el tiempo si las masas que lo generan se mueven, pero se encuentra en todo momento en un estado de equilibrio instantáneo. Por supuesto, el campo gravitatorio se mantiene estático si también lo hacen las masas.

Principio de energía potencial total estacionaria

Con los puntos de la sección anterior, el problema de determinar el campo gravitatorio dada una distribución de masa es un problema de equilibrio. Como con todo buen problema de equilibrio, podemos definir una energía potencial dependiente de la configuración global del campo gravitatorio tal que su valor sea estacionario (mínimo, máximo o punto silla) para el campo que sea solución del problema. Esta energía potencial total no es más que un funcional que puede adoptar la forma que nos resulte más útil; ciertamente, no es necesario hacer que tenga unidades de energía. Si nos resulta más cómodo, en vez de hablar de energía potencial total, también podemos hablar de una acción o de un funcional de equilibrio.

Tenemos que inventarnos un modelo razonable para la energía potencial total Π del campo gravitatorio φ(x) provocado por una distribución de masa de densidad ρ(x). Una de las formas más sencillas que podemos definir es la siguiente:
Π ≡ ∫∫∫[(A ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ ∇φ(x) − B ρ(x) φ(x)] (dx)³.
La integral está referida a todo el espacio y A y B son constantes que tendremos que ajustar. Esta energía potencial total es muy sencilla, pero contiene información suficiente para generar campos interesantes: el primer sumando es una energía debida a la propia deformación del potencial y el segundo término acopla la densidad con el potencial de manera que convierte la densidad en la fuente del potencial gravitatorio.

En el equilibrio, la energía potencial total se vuelve estacionaria:
∂Π = 0.
Suponemos que en el infinito, lejos de cualquier volumen de interés, no hay masa y la aceleración gravitatoria (y, por lo tanto, el gradiente del potencial gravitatorio) tiende a cero. Con estos datos y una mínima manipulación, la variación de la energía potencial total adopta la forma siguiente para una variación arbitraria δφ(x) que verifica la condición de gradiente nulo en el infinito:
0 = ∂Π = ∫∫∫[−A ∇²φ(x) − B ρ(x)] δφ(x) (dx)³.
Como la variación del potencial gravitatorio es arbitraria, la expresión entre corchetes ha de anularse en todos los puntos del espacio:
−A ∇²φ(x) − B ρ(x) = 0.
Si elegimos bien el valor de las constantes, recuperamos la ecuación que vimos en el artículo anterior:
∇²φ(x) = 4πG ρ(x).
Ya vimos que esta ecuación es una forma diferencial de expresar la ley de gravitación universal. Hemos acertado, por lo tanto, en nuestra elección de la energía potencial total del campo gravitatorio.

Analogía elástica

Podemos llegar a la forma de la energía potencial total del campo gravitatorio mediante una analogía con la elastostática lineal. Esta analogía es muy bonita, pero es casi completamente necesario saber precisamente de elastostática lineal para comprenderla.

Si no hubiera masas, el potencial gravitatorio sería idénticamente nulo en todo el espacio. La masa fuerza el campo y lo desplaza de su valor de reposo (el valor nulo) hasta una configuración φ(x). El potencial gravitatorio es equivalente a un campo de desplazamientos de dimensión 1. La densidad ρ(x), como fuente del potencial gravitatorio, es proporcional a la fuerza por unidad de volumen que genera el campo de desplazamientos:
B(x) ρ(x).

El potencial o campo de desplazamientos experimenta una deformación que es igual a su variación espacial:
∇φ(x).

El campo gravitatorio experimenta unas tensiones internas. Supondremos que estas tensiones están relacionadas con las deformaciones conforme a esta ecuación constitutiva lineal:
A(x) ⋅ ∇φ(x).
B(x) es un tensor de orden dos.

La energía potencial total será igual a la suma de una energía de deformación interna U y una energía debida al trabajo externo V.

La energía de deformación interna es debida al trabajo de las tensiones sobre las deformaciones:
U ≡ ∫∫∫(1 ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)] (dx)³.
El factor multiplicativo 1 ⁄ 2 se debe a que la deformación y la tensión están relacionadas linealmente:
∫∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)] d[∇φ(x)] = (1 ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)].

La energía del trabajo externo es debida al la fuerza distribuida y el campo de desplazamientos:
V ≡ −∫∫∫B(x) φ(x) (dx)³.
En este caso, no hay factor multiplicativo 1 ⁄ 2 porque la fuerza está aplicada a un valor constante y luego se deja que crezca el desplazamiento.

Con todo esto, la energía potencial total Π será:
Π ≡ U + V =  ∫∫∫{(1 ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)] − B(x) φ(x)} (dx)³.
Finalmente, si suponemos que el espacio es homogéneo e isótropo, obtenemos la energía potencial total buscada:
Π =  ∫∫∫[(1 ⁄ 2) A ∇φ(x) ⋅ ∇φ(x) − B φ(x)] (dx)³.

Formas alternativas de llegar a la ley de gravitación universal

El presente artículo forma parte de una serie. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir la ley de gravitación universal:

• mediante un argumento sencillo de conservación y simetría;
• mediante ecuaciones de conservación o equilibrio para el potencial gravitatorio;

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Categorías: Física

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