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Transferencia de calor por conducción (3): más sobre la ley de Fourier

2014-08-06

Presentamos la ley de Fourier de la conducción de calor en el último artículo. En última instancia, la ley de Fourier para la conducción de calor se deduce del comportamiento microscópico de los materiales y se verifica empíricamente. Hoy veremos, no obstante, cómo deducir la ley a partir de unas pocas hipótesis razonables.

Limitamos nuestro estudio al caso unidimensional. Este caso no es más que la abstracción de lo que sucede lejos del canto en una placa plana y delgada (de grandes dimensiones laterales en comparación con su espesor) de material homogéneo que dejamos a una cierta temperatura uniforme en una cara y a otra temperatura también uniforme en la cara opuesta. Solamente tenemos una coordenada espacial, x. Fijamos el origen x en el plano medio, tal que el material se extiende desde x = −h ⁄ 2 hasta x = h ⁄ 2, con h igual al espesor del medio material. Este medio solamente está sometido a transferencia de calor por conducción.

Dejamos el medio sometido a una diferencia de temperatura y esperamos hasta alcanzar un estado estacionario en el que la distribución de temperatura ya no varía. La temperatura en un extremo es T₁ ≡ T(−h ⁄ 2) y la temperatura en el otro extremo es T₂ ≡ T(h ⁄ 2). Definimos la temperatura media como T_media ≡ (T₁+T₂) ⁄ 2 y el incremento de temperatura como ΔT ≡ T₂−T₁. Si variamos estos parámetros, el flujo de calor q en el estado estacionario varía. Suponemos que el estado estacionario es único para un espesor dado y unas temperaturas en los extremos dadas. Con abuso de la notación, podemos expresar el flujo de calor como una función de la temperatura media y el incremento de temperatura:

q ≡ q(h,T_media,ΔT).

Si asumimos que el flujo de calor es una función analítica del incremento de temperatura, podemos hacer uso del siguiente desarrollo en serie de Taylor cuyos coeficientes son las funciones por ahora arbitrarias c_m(h,T_media):

q ≡ ∑_m≥0c_m(h,T_media) ⋅ (ΔT)^m.

Este desarrollo es demasiado general, pero podemos aplicarle restricciones. En primer lugar, si el incremento de temperatura es nulo, no hay flujo de calor en el estadio estacionario. Por lo tanto, el coeficiente c₀(h,T_media) es idénticamente nulo. Además de esto, si restringimos el estudio a materiales que no tienen preferencia por el sentido de la diferencia de temperatura, el flujo de calor ha de ser una función impar de esta variable, con lo que todos los coeficientes pares se anulan:

q ≡ ∑_m≥0c_2m+1(T_media) ⋅ (ΔT)^2m+1.

Los coeficientes han de tener valores tales que el flujo tenga siempre el signo opuesto al de la diferencia de temperatura. La condición más sencilla que se deduce de esto es que el coeficiente no nulo de orden más bajo ha de ser negativo. Para el caso convencional en el que el término lineal importa,

c₁(h,T_media) < 0.

Ahora asumamos que el campo de temperaturas T(x) es una función analítica:

T(x) ≡ T(0) + ∑_n≥1(dⁿT⁄dxⁿ)(0) ⋅ xⁿ ⁄ n!.

Si hacemos que el tamaño del dominio sea infinitesimal, tenemos los siguientes resultados:

lím_h→0T_media = T(0);

lím_h→0ΔT = (dT⁄dx)(0) ⋅ h.

Los productos de los coeficientes c_m(h,T_media) y el incremento de temperatura han de ser finitos y, en general, no nulos. La única manera de lograr esto es hacer que se cumpla lo siguiente:

lím_h→0c_m(h,T_media) = −k_m(T_media) ⁄ h^m.

Los coeficientes k_m(T_media) son finitos, el de orden más bajo que no es nulo es positivo y los demás han de tener valores tales que el flujo sea siempre opuesto al gradiente de temperatura.

Con todo lo anterior, podemos expresar el flujo de calor de la siguiente manera:

q ≡ −∑_m≤0k_2m+1(T) ⋅ (dT⁄dx)^2m+1.

Cuando los coeficientes no dependen de la temperatura, el estado estacionario es uno con una distribución lineal de temperatura (todas las derivadas son nulas salvo quizá la primera). Esto es fácil de comprobar sin más que igualar el flujo en dos puntos diferentes.

Si usáramos la ecuación del calor modificada con este flujo general, podríamos plantear condiciones adicionales. Es fácil demostrar que un flujo no lineal impide la obtención de soluciones autosemejantes de energía constante en un medio homogéneo. Este tipo de simetría, el de las soluciones autosemejantes, es una propiedad muy deseable que representa la ausencia de longitudes características en un medio homogéneo e infinito. Esto nos lleva a descartar los términos no lineales si buscamos este tipo de simetría, lo que nos permite recuperar la ley de Fourier que bien conocemos para el medio unidimensional:

q ≡ −k dT⁄dx.

Categorías: Física

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