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Tensiones o esfuerzos mecánicos (8)

2015-08-22

La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos recientemente que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. La fuerza por unidad de superficie medida resulta de aplicar este tensor sobre la dirección perpendicular a la superficie de medida y, en general, no es paralela a dicha dirección. Ayer echamos un vistazo a lo que son las tensiones principales y las direcciones principales. Hoy vamos a estudiar algo relacionado con este último concepto: los invariantes del tensor de tensiones, unas magnitudes que son independientes de la dirección y el sistema de coordenadas (por ser propiedades intrínsecas del tensor de tensiones).

Invariantes

Ayer establecimos que el cálculo de las tensiones principales y las direcciones principales se reduce al siguiente problema de autovalores en el que las incógnitas son las componentes n₁, n₂ y n₃ de la dirección principal y el valor λ de la tensión principal:

σ₁₁ n₁ + σ₁₂ n₂ + σ₁₃ n₃ = λ n₁;

σ₁₂ n₁ + σ₂₂ n₂ + σ₂₃ n₃ = λ n₂;

σ₁₃ n₁ + σ₂₃ n₂ + σ₃₃ n₃ = λ n₃.

Si fijamos un valor arbitrario de la variable λ, queda un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya solución en general es trivial: las componentes de la dirección son todas nulas. Ahora bien, hay unos pocos valores de la variable λ, los autovalores del problema, que hacen que el sistema de ecuaciones sea indeterminado y pueda tener soluciones distintas a la trivial. Estos autovalores son las tensiones principales. Una forma de calcularlos es hacer nulo el determinante de la matriz del sistema de ecuaciones. Este determinante es el polinomio característico del sistema de ecuaciones y es de tercer grado. La ecuación a resolver (la ecuación característica) tiene la siguiente forma:

−λ³ + I₁ λ² − I₂ λ + I₃,

donde

I₁ ≡ σ₁₁ + σ₂₂ + σ₃₃;

I₂ ≡ σ₁₁ σ₂₂ + σ₂₂ σ₃₃ + σ₃₃ σ₁₁ − (σ₁₂)² − (σ₂₃)² − (σ₁₃)².

I₃ ≡ σ₁₁ σ₂₂ σ₃₃ + 2 σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃ − σ₁₁ (σ₂₃)² − σ₂₂ (σ₁₃)² − σ₃₃ (σ₁₂)².

El polinomio característico es invariante ante transformaciones de semejanza. Si rotamos el sistema de coordenadas, la nueva matriz de tensiones, ya que es la representación de un tensor, sale de aplicar una transformación de semejanza a la original. Por lo tanto, el polinomio característico es invariante ante rotaciones del sistema de coordenadas. Esto significa que las magnitudes I₁, I₂ e I₃ son independientes de la orientación del sistema de coordenadas: son los invariantes del tensor de tensiones. Por supuesto, el tensor de tensiones en un punto no tiene por qué ser igual al tensor de tensiones en otro punto, así que los invariantes sí pueden variar en función del punto en el que están medidos.

Digamos que tenemos tres soluciones de la incógnita λ del polinomio característico: σ₁, σ₂ y σ₃. Se trata de las tensiones principales. En un sistema de referencia cuyos ejes coordenados son las direcciones principales, la matriz de tensiones que representa al tensor de tensiones en tal eje es diagonal y tiene la siguiente forma:

En este sistema de ejes principales, los invariantes son más fáciles de calcular, aunque tienen el mismo valor numérico que siempre:

I₁ ≡ σ₁ + σ₂ + σ₃;

I₂ = σ₁ σ₂ + σ₂ σ₃ + σ₃ σ₁;

I₃ ≡ σ₁ σ₂ σ₃.

Categorías: Física

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