Tensiones o esfuerzos mecánicos (9)
2015-08-30
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos recientemente que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hoy veremos qué son la tensión hidrostática y el tensor desviador.
Tensión hidrostática y tensor desviador
Imaginemos un medio sometido únicamente a una presión hidrostática p. La presión isótropa y es lo único que constituye el estado tensional de este medio, así que el tensor de tensiones también es isótropo: el vector tensión medido en cualquier dirección tiene siempre la misma magnitud. Esto se cumple con un tensor de tensiones diagonal cuya representación matricial es como sigue:
| −p | 0 | 0 |
| 0 | −p | 0 |
| 0 | 0 | −p |
Es decir, el resultado de multiplicar la matriz unidad por un escalar (la presión con signo negativo, ya que las tensiones están tomadas por convenio como positivas cuando tiran hacia el exterior del volumen y las presiones están tomadas como positivas cuando empujan hacia el interior).
En el caso anterior, la presión (o, más bien, su negada) es igual a un tercio de la traza del tensor de tensión. Por extensión, se define la tensión hidrostática como un tercio de la traza del tensor de tensiones. Si le asignamos el símbolo σh, se define así con la notación de componentes tensoriales habitual de esta serie de artículos:
σh ≡ (1 ⁄ 3) (σ11+σ22+σ33) = I1 ⁄ 3.
Es decir, la tensión hidrostática es igual a un tercio del primer invariante del tensor de tensiones, ya que este primer invariante es la traza. La tensión hidrostática es independiente de la orientación del sistema de coordenadas.
No está de más desarrollar el tensor de tensiones como la suma de dos componentes: uno isótropo cuya diagonal está formada por la tensión hidrostática (cuyas componentes no varían al rotar el sistema de coordenadas) y otro, que llamaremos tensor desviador, cuyas componentes adoptan el valor
sij ≡ σij − σh δij,
donde δij es la delta de Kronecker, que adopta el valor 1 en los elementos diagonales (cuando i = j y el valor 0 en los demás elemento.
Descomposición del tensor de tensiones en tensión hidrostática y
tensión desviadora. El cuadrado es un volumen elemental de un medio
continuo que está sometido a tensiones (representadas mediante flechas
perpendiculares a las caras en el caso de las tensiones normales y
paralelas a las caras en el caso de las tensiones tangenciales).
La tensión desviadora tiene invariantes igual que los tiene el tensor de tensiones. Estos invariantes son los coeficientes del polinomio característico del tensor desviador, que podemos representar simbólicamente de forma análoga a la del polinomio característico del tensor de tensiones:
λ3 − J1 λ2 + J2 λ − J3.
Estos invariantes tienen los siguientes valores:
J1 ≡ 0;
J2 ≡ [(σ11−σ22)2 + (σ22−σ33)2 +; (σ33−σ11)2] ⁄ 6 + (σ12)2 + (σ23)2 + (σ13)2 = (I1)2 ⁄ 3 − I2.
J3 ≡ (2 ⁄ 27) [(σ11)3+(σ22)3+(σ33)3] − (1 ⁄ 9) [(σ11+σ22) (σ33)2 + (σ22+σ33) (σ11)2 + (σ33+σ11) (σ22)2] + (4 ⁄ 9) σ11 σ22 σ33 = (2 ⁄ 27) (I1)3 − (1 ⁄ 3) I1 I2 + I3.
Categorías: Física
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