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Qué masa y tamaño tiene un agujero negro

2018-09-20

Cuando iba al colegio, tuve que responder en un examen a la siguiente pregunta:

¿Qué tiene que ser grande para que un cuerpo sea un agujero negro?

Había que elegir una respuesta entre varias. Entre ellas, estaban las siguientes:

1. La masa.
2. La densidad.

Razoné de forma algo incompleta que la primera opción, la masa, no era correcta, ya que un cuerpo muy masivo no es un agujero negro si no es lo bastante grande y un cuerpo muy poco masivo es un agujero negro si es lo bastante pequeño. Escogí la segunda opción, la de la densidad. El profesor evaluó mi respuesta como incorrecta. Ahora bien, si la segunda respuesta es incorrecta, entonces la primera también lo es.

El radio de Schwarzschild

El radio de Schwarzschild es el radio del horizonte de sucesos de un agujero negro sin momento angular y sin carga. Un cuerpo es un agujero negro cuando su radio es menor o igual al correspondiente radio de Schwarzschild. La relación entre la masa M de un objeto y el radio de Schwarzschild r_s a dicha masa es

r_s = 2 G M ∕ c².

En la anterior ecuación, G es la constante gravitatoria y c es la rapidez de la luz en el vacío. El radio de Schwarzschild y la masa son directamente proporcionales.

De lo anterior se extrae cuando su radio r cumple la siguiente desigualdad:

r ≤ 2 G M ∕ c².

Con esto, podemos calcular lo que necesita un cuerpo para ser un agujero negro, que no depende solamente de la masa ni solamente de la densidad.

Relación entre la masa y el radio de un agujero negro

Visto lo anterior, un cuerpo sin momento angular y sin carga es un agujero negro cuando se cumple la siguiente condición:

M ∕ r ≤ c² ∕ (2 G).

Aproximadamente, esto es

M ∕ r ⪅ 6,7 × 10²⁶ kg m⁻¹.

Relación entre la «densidad» y el «volumen» de un agujero negro

En un espacio euclídeo, el volumen V de un cuerpo esférico de radio r cumple lo siguiente:

V = (4 ∕ 3) r³.

Hay que tener en cuenta que el espacio es de todo menos euclídeo en el entorno de un agujero negro, así que no está muy bien hablar de este volumen a la ligera. Hagámoslo de todas formas.

Además de lo anterior, asumamos que la «densidad» ρ es la que se deduciría de un cuerpo de densidad constante en un espacio euclídeo:

ρ = M ∕ V.

La relación que han de cumplir la «densidad» y el «volumen» es la siguiente:

ρ³ V² ≤ (3 c⁶) ∕ (32 G³).

Aproximadamente, esto es

ρ³ V² ⪅ 2,3 × 10⁸⁰ kg³ m⁻³.

Esta cota se aplica inmediatamente a otras relaciones entre variables, ya que:

ρ³ V² = M³ ∕ V = (3 ∕ 4) (M³ ∕ r³) = (16 ∕ 9) ρ³ r⁴.

Categorías: Física

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