Tensiones o esfuerzos mecánicos (15)
2016-06-11
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. Vimos hace unos meses que las tensiones en un medio continuo quedan caracterizadas mediante un tensor simétrico de segundo orden: el tensor de tensiones. Hay varias maneras de resumir las características de este tensor; algunas, como la cuártica indicatriz de tensiones, son representaciones geométricas. Hoy vamos con otra representación geométrica que es muy similar a la cuártica indicatriz de tensiones: la cuártica directriz de tensiones. El desarrollo es similar al de la cuádrica indicatriz de tensiones, pero en vez de ofrecer información relacionada con la dirección normal de medida, la aporta relacionada con el vector tensión.
La cuádrica directriz de tensiones
Asumiremos que al menos una de las tensiones principales es no negativa. Si todas las tensiones principales fueran negativas, el estudio de la tensión sería trivial. Además de esto, asumimos el siguiente orden:
σ1 ≤ σ2 ≤ σ3.
En ejes principales, conocido el vector tensión, la dirección normal tiene las siguientes componentes:
n1 = t1 ⁄ σ1;
n2 = t2 ⁄ σ2;
n3 = t3 ⁄ σ3.
La tensión normal σ es la proyección del vector tensión sobre el vector normal:
σ ≡ t ⋅ n = (t1)2 ⁄ σ1 + (t2)2 ⁄ σ2 + (t3)2 ⁄ σ3.
Ahora, definamos el vector y de componentes
y1 ≡ t1 ⁄ √σ;
y2 ≡ t2 ⁄ √σ;
y3 ≡ t3 ⁄ √σ.
Al expresar la ecuación de la tensión normal en función de las componentes de este nuevo vector y dividir por |σ|, se obtiene la siguiente ecuación:
signo(σ) = σ ⁄ |σ| = (y1)2 ⁄ σ1 + (y2)2 ⁄ σ2 + (y3)2 ⁄ σ3.
Se trata de la ecuación implícita de una superficie cuádrica que es el lugar geométrico ocupado por el vector y: la cuádrica directriz de tensiones.
Todas las tensiones principales tienen el mismo signo
La ecuación de la cuádrica directriz de tensiones solamente tiene solución real:
- si las tensiones principales son positivas, cuando la tensión normal es positiva (de tracción);
- si las tensiones principales son negativas, cuando la tensión normal es negativa (de compresión).
La cuádrica directriz de tensiones es un elipsoide cuya ecuación es la siguiente:
(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 1.
Cuádrica directriz de tensiones cuando todas las tensiones
principales son positivas.
Dos tensiones principales tienen un signo y la tensión principal restante tiene el signo opuesto
La cuádrica directriz de tensiones es un hiperboloide. Asumamos en primer lugar que las dos primeras tensiones principales son negativas y la tercera es positiva:
σ1 ≤ σ2 < 0 < σ3.
Si la tensión normal es positiva (a tracción), tenemos un hiperboloide de dos hojas:
−(y1)2 ⁄ |σ1| − (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 1.
Si la tensión normal es negativa (a compresión), tenemos un hiperboloide de una hoja:
(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = −1.
La frontera entre ambos casos, con tensión normal nula, es un cono elíptico:
(y1)2 ⁄ |σ1| + (y2)2 ⁄ |σ2| + (y3)2 ⁄ |σ3| = 0.
Cuádrica directriz de tensiones cuando dos tensiones principales
son negativas y la tercera es positiva.
La relación de signos se invierte cuando una tensión principal es negativa y las dos restantes son positivas: el hiperboloide de dos hojas es para tensión normal compresiva y el hiperboloide de una hoja es para tensión normal a tracción.
Una tensión principal nula y las otras dos no nulas y de signo idéntico
Debido a la ordenación que hemos asignado a las tensiones principales, tenemos una de las dos siguientes condiciones:
- σ1 ≤ < σ2 < 0 = σ3;
- σ1 = 0 < σ2 ≤ < σ3.
La cuádrica directriz de tensiones es un cilindro elíptico. También puede verse como que se elimina la dimensión correspondiente a la tensión principal nula y la cuádrica directriz de tensiones pasa a ser una cónica (una elipse en este caso). La tensión normal es necesariamente de tracción cuando las tensiones principales no nulas son positivas y necesariamente de compresión cuando las tensiones principales no nulas son negativas.
Cuádrica directriz de tensiones cuando una tensión principal es
nula y las otras dos son positivas.
Una tensión principal nula y las otras dos no nulas y de signo opuesto
Debido a la ordenación que hemos asignado a las tensiones principales, tenemos la condición σ1 < 0 < σ3.
La cuádrica directriz de tensiones es un cilindro hiperbólico. También puede verse como que se elimina la dimensión correspondiente a la tensión principal nula y la cuádrica directriz de tensiones pasa a ser una cónica (una hipérbola). Hay un par de ramas de hipérbola para un signo de la tensión normal y otro par para el otro signo, tal que las asíntotas son las mismas y vienen dadas por la ecuación correspondiente a anular el signo:
−(t1)2 ⁄ |σ1| + (t3)2 ⁄ |σ3| = 0.
Uno de los pares es el siguiente, correspondiente a tracción:
−(t1)2 ⁄ |σ1| + (t3)2 ⁄ |σ3| = 1.
El otro es el que corresponde a compresión.
−(t1)2 ⁄ |σ1| + (t3)2 ⁄ |σ3| = −1.
Cuádrica directriz de tensiones cuando una tensión principal es
negativa, otra es nula y la tercera es positiva.
Dos tensiones principales nulas y otra no nula
En este caso, la cuádrica indicatriz de tensiones no aporta mucha información interesante debido a la reducida dimensión del problema.
Categorías: Física
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