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El modelo epidemiológico SIR (7)

2020-04-06

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

• cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
• el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
• cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
• cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
• cómo calcular el resultado final de la epidemia.

Hoy estudiaremos el comportamiento de la epidemia en el entorno del pico de contagios.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R₀ ⁄ t_I) S I;

dI ⁄ dt = (R₀ ⁄ t_I) S I − (1 ⁄ t_I) I;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ t_I) I.

El parámetro R₀ es el ritmo reproductivo básico: el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible. El parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

De acuerdo con el modelo elemental SIR, el número de infectados simultáneos crece inicialmente hasta alcanzar un máximo y, después, cae hasta anularse. Este máximo se produce cuando transcurre un tiempo t_m desde el instante inicial t = 0; de acuerdo con lo visto hace unos días, las variables quedan así en el máximo:

S(t_m) = 1 ⁄ R₀;

I(t_m) = I(0) + S(0) − 1 ⁄ R₀ − (1 ⁄ R₀) log[R₀ S(0)];

R(t_m) = (1 ⁄ R₀) log[R₀ S(0)] + R(0).

Los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor nos permiten examinar el comportamiento del sistema en el entorno del máximo de infecciones:

S(t) ≅ S(t_m) + (dS ⁄ dt)(t_m) (t−t_m) = S(t_m) [1 − (R₀ ⁄ t_I) I(t_m) (t−t_m)].

I(t) ≅ I(t_m) + (1 ⁄ 2) (d²I ⁄ dt²)(t_m) (t−t_m)² = I(t_m) {1 − (1 ⁄ 2) (R₀ ⁄ t_I)² S(t_m) [I(t_m)]² (t−t_m)²};

R(t) ≅ R(t_m) + (dR ⁄ dt)(t_m) (t−t_m) = R(t_m) + (1 ⁄ t_I) I(t_m) (t−t_m).

Tanto los susceptibles como los recuperados quedan aproximados mediante una recta; los infectados quedan aproximados mediante una parábola. Si tomamos más términos del desarrollo en serie, podemos deducir más información:

• la curva de susceptibles en función del tiempo no tiene un punto de inflexión en el instante de máximos contagios: cae a un ritmo cada vez más lento;
• la curva de infectados en función del tiempo en general no es simétrica alrededor del máximo (los términos impares de orden superior a la unidad del desarrollo en serie son no nulos);
• la curva de recuperados en función del tiempo tiene un punto de inflexión en el instante de máximo de infectados y pasa allí de crecer cada vez más rápido a crecer cada vez más despacio.

Categorías: Matemáticas, Salud

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