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El modelo epidemiológico SIR (11)

2020-04-21

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

• cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
• el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
• cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
• cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
• cómo calcular el resultado final de la epidemia;
• cómo se comporta la epidemia en el entorno del máximo de infectados simultáneos;
• cómo varían los infectados cerca del final de la epidemia;
• cómo se relacionan la fase de crecimiento exponencial inicial de la epidemia y la fase de decrecimiento exponencial final de la epidemia;
• qué condición es necesaria para la inmunidad de grupo.

Hoy veremos cómo queda modificado el modelo si en vez de trabajar con proporciones sobre la población total, trabajamos con números absolutos de individuos.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R₀ ⁄ t_I) S I;

dI ⁄ dt = (R₀ ⁄ t_I) S I − (1 ⁄ t_I) I;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ t_I) I.

El parámetro R₀ es el ritmo reproductivo básico: el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible. El parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

S, I y R en las anteriores ecuaciones son proporciones sobre la población total, que es de N individuos. Si en vez de hablar de proporciones, usamos las cantidades absolutas de invidivuos S' ≝ N S, I' ≝ N I y R' ≝ N R, es inmediato concluir que las ecuaciones quedan de la siguiente manera:

dS' ⁄ dt = −[R₀ ⁄ (N t_I)] S' I';

dI' ⁄ dt = [R₀ ⁄ (N t_I)] S' I' − (1 ⁄ t_I) I';

dR' ⁄ dt = (1 ⁄ t_I) I'.

Esto implica que los cálculos de los anteriores artículos son aplicables de inmediato de dos formas muy cómodas:

• bien trabajando en proporciones sobre la población total y escalando con N los resultados para obtener los números de individuos;
• bien trabajando directamente en número de individuos (tomando que S, I y R se refieren a números de individuos en vez de a proporciones sobre la población total) y escribiendo R₀ ⁄ N allí donde en las ecuaciones referidas a proporciones de población aparece R₀.

Categorías: Matemáticas, Salud

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