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Ley de Hooke

2010-06-17

Los objetos sólidos que manejamos en la vida cotidiana no son perfectamente rígidos, sino que se deforman cuando se les aplica un esfuerzo y responden con una fuerza recuperadora que hace que tiendan a recobrar la forma original. En general, la respuesta de un material a una carga puede ser bastante complicada. Las gomas elásticas, por ejemplo, suelen ser muy fáciles de estirar cuando no están muy tensas, pero a partir de un punto se vuelven muy rígidas bruscamente. Sin embargo, dentro de ciertos límites, muchos materiales responden de forma lineal ante las cargas: si se les aplica un determinado esfuerzo, se deforman en una determinada cuantía; si se les aplica el doble de esfuerzo, se deforman el doble; si se les aplica la mitad de esfuerzo, se deforman la mitad…

Comportamiento lineal de un muelle.
Comportamiento lineal de un muelle: la elongación y la fuerza son directamente proporcionales.

Los materiales que responden de esta manera son conocidos como materiales elásticos lineales. La respuesta elástica lineal es muy común —por lo menos cuando las deformaciones son lo bastante pequeñas. La ley del comportamiento elástico lineal es conocida como ley de Hooke. En su aplicación más básica, describe el comportamiento de un muelle sometido a una carga y tiene el siguiente aspecto:

F = k x,

donde F es la fuerza aplicada, k es una constante de proporcionalidad que depende de las características del muelle y x es el alargamiento del muelle (es decir, la diferencia entre la longitud del muelle con la fuerza aplicada y la longitud que tenía el muelle cuando estaba en reposo).

Un cuerpo sometido a múltiples cargas.
Un cuerpo elástico lineal sometido a diferentes cargas. En rojo, las fuerzas aplicadas; en azul, los desplazamientos en los puntos de aplicación de las fuerzas.

Podemos generalizar la ley de Hooke de muchas maneras. Por ejemplo, si queremos describir los desplazamientos de muchos puntos de un objeto sólido en el régimen elástico lineal en función de las fuerzas aplicadas en dichos puntos, tenemos lo que sería la ecuación de un muelle multidimensional:

Fi = ∑j kij xj.

En la anterior ecuación, Fi es la fuerza aplicada en el punto número i, xj es el desplazamiento del punto j y kij es un coeficiente de rigidez que relaciona el desplazamiento xj y la fuerza aplicada Fi. Podemos entender estas fuerzas y estos desplazamientos de una forma generalizada: pueden ser también, por ejemplo, momentos y rotaciones. Por supuesto, esta formulación en términos de rigidez (que expresa las fuerzas en función de los desplazamientos) es equivalente a una formulación en flexibilidad (que expresa los desplazamientos en función de las fuerzas).

Partículas en el interior de un sólido.
Las partículas del interior de un sólido se mantienen en su sitio como resultado de las interacciones que se dan entre ellas. Arriba, el sólido está en reposo. En el medio, el sólido está sometido a compresión y la repulsión entre las partículas se traduce en una fuerza recuperadora. Abajo, el sólido está sometido a tracción y la atracción entre las partículas se traduce en una fuerza recuperadora.

El comportamiento elástico lineal es muy común. Es de esperar que sea así. En un bloque de material sólido, las partículas mantienen sus posiciones relativas al interactuar entre ellas: cuando dos partículas se acercan demasiado entre ellas, se repelen entre sí, mientras que se atraen mutuamente cuando se alejan demasiado, de modo que hay una posición de equilibrio en la que las partículas se mantienen, en cierto sentido, en reposo. Si las cosas funcionaran de otra manera, el objeto sólido no existiría: si las partículas se atrajeran más y más al acercarse, entonces acabarían colapsando; si las partículas se repelieran más y más al alejarse, entonces se dispersarían por el espacio. Visto lo visto, está claro que, por lo menos dentro de ciertos límites, el sólido tenderá a recuperar su forma al ser deformado (es decir, al juntar o separar sus partículas), de modo que habrá que aplicar un esfuerzo para mantener la deformación. La fuerza que hay que aplicar puede variar de un modo complicado con la deformación, pero si esta última está dentro de un rango lo suficientemente pequeño, podemos aproximar con gran precisión el comportamiento con una ley lineal.

Aproximación lineal de una respuesta no lineal.
Es común que una aproximación lineal sea aplicable dentro de ciertos límites.

Corría el año 1676 cuando Robert Hooke enunció la conocida ley del comportamiento elástico lineal. Curiosamente, no la publicó de forma clara, sino ofuscada en un anagrama:

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Dos años después, en 1678, el misterio fue desvelado: el anterior anagrama correspondía a la siguiente expresión en latín:

Ut tensio, sic vis.

Esta expresión significa: «como la extensión, así es la fuerza». Hay una colección interesantísima de anagramas científicos del siglo XVII en una página dedicada a ello en CIENCIAnet.

Aviones, puentes, barcos… la ley de Hooke cumple su función a diario en el diseño de las estructuras de estos ingenios y de las de muchos otros. ¡No está mal para una ley tan sencilla!


Categorías: Física

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