Marzo de 2011
Calendario de artículos de de 2011
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Palabras curiosas (3): «oxímoron»
2011-03-31
Continuamos con nuestra serie de artículos dedicada a palabras raras, llamativas o divertidas. La palabra de hoy es «oxímoron», una figura retórica que consiste en combinar dos palabras antónimas o expresiones contradictorias dentro de una misma estructura sintáctica. El oxímoron viene a ser, por lo tanto, lo contrario del pleonasmo. He aquí algunos bellos ejemplos:
- silencio ensordecedor;
- puntualmente tarde;
- secreto a voces;
- sin querer queriendo;
- hielo abrasador;
- fuego helado.
El antepenúltimo oxímoron es del humorista Roberto Gómez Bolaños. Los dos últimos oxímoron (u «oxímoros», que el plural de esta palabra se las trae) son de Quevedo.
Existen los falsos oxímoron en los que, con fines habitualmente humorísticos, se fuerza la contradicción donde en principio no la hay mediante un juicio subjetivo. Uno de los ejemplos más famosos de falso oxímoron es el de «inteligencia militar» (como queriendo decir que la inteligencia y la marcialidad son excluyentes), popularizado por varios humoristas.
Categorías: Lingüística
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2011/03/31/palabras-curiosas-3-oximoron/
Sobre los delitos contra los sentimientos religiosos
2011-03-29
Existe cierta confusión sobre la naturaleza de los delitos contra los sentimientos religiosos en España, así como sobre la cuestión de si quienes no profesan religión se encuentran protegidos legalmente. En esta materia, el Código Penal deja poco lugar para las dudas. En esencia, la legislación española da un tratamiento especial a las creencias religiosas, a la puesta en práctica de éstas y a quienes las practican. Existe cierta asimetría que favorece a las prácticas y creencias religiosas.
Vamos a analizar artículo por artículo la sección segunda del capítulo cuarto del Código Penal, que es la relativa a los delitos contra la libertad de conciencia, los sentimientos religiosos y el respeto a los difuntos.
Artículo 522
Incurrirán en la pena de multa de cuatro a diez meses:
- Los que por medio de violencia, intimidación, fuerza o cualquier otro apremio ilegítimo impidan a un miembro o miembros de una confesión religiosa practicar los actos propios de las creencias que profesen, o asistir a los mismos.
- Los que por iguales medios fuercen a otro u otros a practicar o concurrir a actos de culto o ritos, o a realizar actos reveladores de profesar o no profesar una religión, o a mudar la que profesen.
En cierta medida, este artículo es algo redundante con el artículo 172 sobre las coacciones, pero las penas son algo menores:
El que, sin estar legítimamente autorizado, impidiere a otro con violencia hacer lo que la ley no prohíbe, o le compeliere a efectuar lo que no quiere, sea justo o injusto, será castigado con la pena de prisión de seis meses a tres años o con multa de 12 a 24 meses, según la gravedad de la coacción o de los medios empleados. (…)
Artículo 523
El que con violencia, amenaza, tumulto o vías de hecho, impidiere, interrumpiere o perturbare los actos, funciones, ceremonias o manifestaciones de las confesiones religiosas inscritas en el correspondiente registro público del Ministerio de Justicia e Interior, será castigado con la pena de prisión de seis meses a seis años, si el hecho se ha cometido en lugar destinado al culto, y con la de multa de cuatro a diez meses si se realiza en cualquier otro lugar.
Este artículo es muy semejante al primer punto del artículo anterior, pero las penas son mayores al tratarse de actos inscritos en registro público.
Artículo 524
El que en templo, lugar destinado al culto o en ceremonias religiosas ejecutare actos de profanación en ofensa de los sentimientos religiosos legalmente tutelados será castigado con la pena de prisión de seis meses a un año o multa de 12 a 24 meses.
Este artículo da un tratamiento especial a los sentimientos religiosos al castigar la profanación (es decir, el tratamiento irrespetuoso de lo que los creyentes ofendidos consideran sagrado). La viabilidad de un tratamiento equivalente de los sentimientos no religiosos en lugares no destinados al culto o en actos seculares es dudosa, ya que consistiría en castigar el uso religioso de (o incluso la falta de respeto hacia) cualquier objeto tal que ofendiera la no creencia en religiones.
Artículo 525
- Incurrirán en la pena de multa de ocho a doce meses los que, para ofender los sentimientos de los miembros de una confesión religiosa, hagan públicamente, de palabra, por escrito o mediante cualquier tipo de documento, escarnio de sus dogmas, creencias, ritos o ceremonias, o vejen, también públicamente, a quienes los profesan o practican.
- En las mismas penas incurrirán los que hagan públicamente escarnio, de palabra o por escrito, de quienes no profesan religión o creencia alguna.
Este artículo establece los castigos para quienes hagan escarnio público de quienes profesan religión o de quienes no la profesan. El vocabulario no es el mismo en ambos puntos: está penado mofarse públicamente de las creencias religiosas con el fin de ofender los sentimientos de quienes las profesan, así como la vejación pública del religioso, pero en lo que respecta a quienes carecen de creencias religiosas, sólo está penado hacer escarnio público de ellos (no la más general vejación que, por otra parte, está castigada en términos más amplios en otros artículos), mientras que burlarse de la propia falta de creencia no conlleva castigo alguno en una interpretación literal de la norma. También puede ser que sea legítimo interpretar ambos puntos como equivalentes, pero entonces el vocabulario del primero está cargado de redundancias. En cuanto a los ritos y ceremonias, éstos no existen de forma especial en un contexto no religioso (o quizá abarcan casi la totalidad de la actividad humana).
Artículo 526
El que, faltando al respeto debido a la memoria de los muertos, violare los sepulcros o sepulturas, profanare un cadáver o sus cenizas o, con ánimo de ultraje, destruyere, alterare o dañare las urnas funerarias, panteones, lápidas o nichos será castigado con la pena de prisión de tres a cinco meses o multa de seis a 10 meses.
Este artículo no tiene relación tan inmediata con las creencias, pero es el último de la sección. Este artículo no trata sobre los muertos, sino sobre los vivos que los recuerdan, así que es aplicable por igual a creyentes y a no creyentes.
Categorías: Derechos
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2011/03/29/sobre-los-delitos-contra-los-sentimientos-religiosos/
Sucker Punch: una propuesta poco convencional que no dejará tibio al público
2011-03-27
El estilista Zack Snyder presenta ante el mundo su nueva criatura: Sucker Punch, un pintoresco thriller de acción y fantasía cargado de altibajos.
El aspecto técnico es excelente y realmente está ahí para ser apreciado, con una cámara siempre acertada, un cuidado visual extraordinario, buena gestión del ritmo y una banda sonora (basada en versiones de éxitos de la radio) que cumple a la perfección como elemento vertebrador. Las escenas de acción son contundentes y claras, con los bien conocidos juegos temporales que tanto gustan a Snyder y que despiertan pasiones buenas y malas entre el público.
El argumento es algo superficial y muchos personajes adolecen de un escaso desarrollo, pero habría que preguntarse si esto no es en realidad una virtud en una película como ésta. A pesar de esto, hay algunos aspectos interesantes en el argumento, fantasías a diferentes niveles y mecánicas bien diferenciadas, que parecen beber del mundo del videojuego. El reparto, prometedor, se defiende bien, pero es cierto que a veces no hay mucho material con el que trabajar.
La película parece confundir e irritar a muchos espectadores con sus cambios de nivel de fantasía y sus escenas de acción «porque sí». También hay críticas centradas en el vestuario de las heroínas —que trabajan en un burdel del que quieren escapar— que, francamente, rozan el puritanismo y buscan la obscenidad donde no la hay. Una queja quizá con más miga: los primeros minutos prometen algo muy distinto a lo que muestra el resto de la cinta; esto es bueno y malo simultáneamente.
En las primeras reacciones que podemos ver en los tubos (¡donde la crítica vuela!), se aprecia una fuerte polarización. Esta película es para amarla u odiarla o, quizá, hacer ambas cosas a la vez. Quienes busquen una historia profunda y personajes de los que enamorarse o puedan sentirse ofendidos por la ropa interior y unas kilométricas pestañas postizas, harán mejor en ver otra película. Los demás podrán disfrutar de una entretenida sucesión de espectaculares escenas de acción que combinan elementos de todo el espectro geek y llevadas por un inverosímil grupo de chicas de alterne ascendidas a heroínas armadas hasta los dientes, una brillante ejecución técnica, fantasía a varios niveles y una curiosa sensación de estar frente a un videojuego.
Categorías: Cine
Pospuesto y trasladado el Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico de 2011
2011-03-25
Tras la tremenda catástrofe que asoló Japón hace dos semanas y cuyas secuelas todavía se hacen sentir, la ISU ha decidido postergar y trasladar el Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico que iba a celebrarse esta semana en Tokio. Finalmente, la competición tendrá lugar en Moscú entre el 24 de abril y el 1 de mayo.
Ésta es una noticia agridulce. El alivio que se respira en el mundillo del patinaje artístico por haberse evitado la cancelación del Campeonato del Mundo no compensa el tremendo impacto del terremoto y sus secuelas en nuestros compañeros del Pacífico.
Categorías: Actualidad, Deporte
Adiós, Liz Taylor
2011-03-23
La gigante del cine Elizabeth Taylor nos dejó hoy. Hace casi un mes, el 27 de febrero, cumplía 79 años. Tras ella queda un rastro imborrable, magnífico e impresionante. A falta de algo mejor, estas escasas líneas tendrán que bastar como homenaje.
Categorías: Actualidad, Cine
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2011/03/23/adios-liz-taylor/
Ley de gravitación universal (3)
2011-03-22
Hemos visto recientemente tanto una forma muy elemental como otra un poquito más sofisticada de plantear la ley de gravitación universal a partir de ciertas hipótesis sencillas. Hoy vamos a ver una tercera y elegantísima manera. Jugamos con la ventaja de saber que el resultado que vamos a alcanzar (la muy conocida ley de gravitación universal) es un modelo de la realidad lo bastante bueno como para ser utilizado de forma rutinaria en numerosas aplicaciones prácticas.
Vamos a utilizar un principio de acción estacionaria, que es una forma muy útil de construir modelos físicos.
El presente artículo forma parte de una serie. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir la ley de gravitación universal:
- mediante un argumento sencillo de conservación y simetría;
- mediante ecuaciones de conservación o equilibrio para el potencial gravitatorio;
Fuerza de gravedad, campo gravitatorio y potencial gravitatorio
Recordemos rápidamente los siguientes conceptos:
- Los cuerpos con masa están sometidos a una fuerza gravitatoria F que los atrae a otros cuerpos con masa.
- Podemos definir, por lo tanto, un campo de aceleraciones —el campo gravitatorio— g(x) que permea el espacio tal que si un cuerpo de masa m se encuentra en el punto x, experimenta una fuerza gravitatoria F = m g(x).
- Por hipótesis, suponemos que el campo gravitatorio se deriva
de un potencial escalar φ(x):
g(x) = −∇φ(x).
Esto es equivalente a decir que el campo gravitatorio es irrotacional o que la fuerza de gravedad es conservativa, una hipótesis razonable que simplifica mucho los cálculos y se verifica experimentalmente con un grado de aproximación excelente. - La masa actúa de fuente del campo gravitatorio.
- En el presente modelo newtoniano, el campo se propaga más rápido que cualquier fenómeno de interés y alcanza un estado estacionario al instante. El campo gravitatorio puede variar con el tiempo si las masas que lo generan se mueven, pero se encuentra en todo momento en un estado de equilibrio instantáneo. Por supuesto, el campo gravitatorio se mantiene estático si también lo hacen las masas.
Principio de energía potencial total estacionaria
Con los puntos de la sección anterior, el problema de determinar el campo gravitatorio dada una distribución de masa es un problema de equilibrio. Como con todo buen problema de equilibrio, podemos definir una energía potencial dependiente de la configuración global del campo gravitatorio tal que su valor sea estacionario (mínimo, máximo o punto silla) para el campo que sea solución del problema. Esta energía potencial total no es más que un funcional que puede adoptar la forma que nos resulte más útil; ciertamente, no es necesario hacer que tenga unidades de energía. Si nos resulta más cómodo, en vez de hablar de energía potencial total, también podemos hablar de una acción o de un funcional de equilibrio.
Tenemos que inventarnos un modelo razonable para la energía
potencial total Π del campo
gravitatorio φ(x)
provocado por una distribución de masa de densidad ρ(x). Una de las formas
más sencillas que podemos definir es la siguiente:
Π ≡ ∫∫∫[(A ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ ∇φ(x) − B ρ(x) φ(x)] (dx)3.
La integral está referida a todo el espacio y A y B
son constantes que tendremos que ajustar. Esta energía potencial total
es muy sencilla, pero contiene información suficiente para generar
campos interesantes: el primer sumando es una energía debida a la
propia deformación del potencial y el segundo término acopla la
densidad con el potencial de manera que convierte la densidad en
la fuente del potencial gravitatorio.
En el equilibrio, la energía potencial total se vuelve estacionaria:
∂Π = 0.
Suponemos que en el infinito, lejos de cualquier volumen de
interés, no hay masa y la aceleración gravitatoria (y, por lo tanto,
el gradiente del potencial gravitatorio) tiende a cero. Con estos
datos y una mínima manipulación, la variación de la energía potencial
total adopta la forma siguiente para una variación arbitraria δφ(x) que verifica
la condición de gradiente nulo en el infinito:
0 = ∂Π = ∫∫∫[−A ∇2φ(x) − B ρ(x)] δφ(x) (dx)3.
Como la variación del potencial gravitatorio es arbitraria, la
expresión entre corchetes ha de anularse en todos los puntos del
espacio:
−A ∇2φ(x) − B ρ(x) = 0.
Si elegimos bien el valor de las constantes, recuperamos la
ecuación que vimos en el artículo anterior:
∇2φ(x) = 4πG ρ(x).
Ya vimos que esta ecuación es una forma diferencial de expresar
la ley de gravitación universal. Hemos acertado, por lo tanto,
en nuestra elección de la energía potencial total del campo
gravitatorio.
Analogía elástica
Podemos llegar a la forma de la energía potencial total del campo gravitatorio mediante una analogía con la elastostática lineal. Esta analogía es muy bonita, pero es casi completamente necesario saber precisamente de elastostática lineal para comprenderla.
Si no hubiera masas, el potencial gravitatorio sería
idénticamente nulo en todo el espacio. La masa fuerza el campo y
lo desplaza de su valor de reposo (el valor nulo) hasta una
configuración φ(x).
El potencial gravitatorio es equivalente a un campo
de desplazamientos de dimensión 1. La densidad ρ(x), como fuente
del potencial gravitatorio, es proporcional a la fuerza por
unidad de volumen que genera el campo de desplazamientos:
B(x) ρ(x).
El potencial o campo de desplazamientos experimenta una deformación
que es igual a su variación espacial:
∇φ(x).
El campo gravitatorio experimenta unas tensiones internas.
Supondremos que estas tensiones están relacionadas con las
deformaciones conforme a esta ecuación constitutiva lineal:
A(x) ⋅ ∇φ(x).
B(x) es un tensor
de orden dos.
La energía potencial total será igual a la suma de una energía de deformación interna U y una energía debida al trabajo externo V.
La energía de deformación interna es debida al trabajo de las
tensiones sobre las deformaciones:
U ≡ ∫∫∫(1 ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)] (dx)3.
El factor multiplicativo 1 ⁄ 2 se debe a que la
deformación y la tensión están relacionadas linealmente:
∫∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)] d[∇φ(x)] = (1 ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)].
La energía del trabajo externo es debida al
la fuerza distribuida y el campo de desplazamientos:
V ≡ −∫∫∫B(x) φ(x) (dx)3.
En este caso, no hay factor multiplicativo 1 ⁄ 2 porque la fuerza está
aplicada a un valor constante y luego se deja que crezca el
desplazamiento.
Con todo esto, la energía potencial total Π será:
Π ≡ U + V = ∫∫∫{(1 ⁄ 2) ∇φ(x) ⋅ [A(x) ⋅ ∇φ(x)] − B(x) φ(x)} (dx)3.
Finalmente, si suponemos que el espacio es homogéneo e isótropo,
obtenemos la energía potencial total buscada:
Π = ∫∫∫[(1 ⁄ 2) A ∇φ(x) ⋅ ∇φ(x) − B φ(x)] (dx)3.
Formas alternativas de llegar a la ley de gravitación universal
El presente artículo forma parte de una serie. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir la ley de gravitación universal:
- mediante un argumento sencillo de conservación y simetría;
- mediante ecuaciones de conservación o equilibrio para el potencial gravitatorio;
Categorías: Física
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2011/03/22/ley-de-gravitacion-universal-3/
Ley de gravitación universal (2)
2011-03-21
En el anterior artículo sobre la ley de gravitación universal vimos cómo deducir esta ley mediante argumentos sencillos de simetría geométrica, conservación y unas pocas suposiciones más. Hoy veremos una forma alternativa y muy elegante de deducir la ley de gravitación universal con la ayuda de un potencial y una ley de conservación.
Jugamos con la ventaja de saber que la ley que vamos a enunciar en realidad es bien conocida y se ajusta de forma excelente a muchísimos resultados experimentales. Si fuéramos a crear un modelo físico para un fenómeno poco estudiado, no tendríamos esta ventaja y probablemente tendríamos que modificar varias veces nuestro modelo hasta que éste predijera correctamente los resultados experimentales.
El presente artículo forma parte de una serie. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir la ley de gravitación universal:
- mediante un argumento sencillo de conservación y simetría;
- mediante un principio de acción (o energía potencial total) estacionaria.
El potencial gravitatorio
La técnica que vamos a emplear es algo más indirecta que
la del anterior artículo. En vez de trabajar sobre el campo
de aceleración gravitatoria (que es fácil de medir y de
efecto muy inmediato), lo haremos sobre el potencial
gravitatorio. Definimos el potencial gravitatorio φ(x) de modo que se
cumple la siguiente relación con la aceleración gravitatoria g(x):
g(x) ≡ −∇φ(x).
En la anterior ecuación, el operador ∇ es el gradiente. El signo menos se
utiliza bien porque los físicos son unos personajes crueles que
odian a los estudiantes, bien porque así no hay que usarlo en otros
momentos cuando toca trabajar con energías.
Trabajar con el potencial gravitatorio es muy cómodo porque se trata de un campo escalar (un campo que sólo tiene magnitud), mientras que la aceleración gravitatoria es más engorrosa porque se trata de un campo vectorial (un campo que tiene magnitud y dirección). Muchas veces, podemos resolver problemas físicos de gran interés trabajando sólo con el potencial gravitatorio; otras veces, necesitamos la aceleración gravitatoria, pero podemos realizar muchos cálculos intermedios con el potencial (con lo que ahorramos esfuerzo) y calcular la aceleración gravitatoria sólo cuando es necesiario.
La ecuación de conservación
Los experimentos indican que la fuerza de atracción gravitatoria está relacionada con la masa; por lo tanto, vamos a suponer que la masa es la fuente del campo gravitatorio. Supondremos también que el potencial gravitatorio obedece una ley de conservación: la cantidad total de campo que contiene un volumen cualquiera varía según lo que generan las fuentes encerradas en dicho volumen y el flujo que viaja a través de sus paredes, del mismo modo que la cantidad de de árboles en un bosque varía con los nuevos arbolitos que nacen de las semillas que caen de los árboles ya maduros (las fuentes) y los árboles jóvenes que introducimos desde el exterior y plantamos (el flujo a través de las paredes o la frontera del bosque).
En la mecánica newtoniana que estamos estudiando, el campo
gravitatorio se propaga instantáneamente. Esto quiere decir que
el campo puede cambiar con el tiempo si las masas que lo generan
se mueven, pero en todo momento estará en un estado de equilibrio
instantáneo. El campo generado por las fuentes (las masas) dentro
de un volumen arbitrario estará compensado, por lo tanto, por el
flujo a través de la frontera de dicho volumen. Si la intensidad
de las fuentes es s(x)
y el flujo a través de las paredes del volumen es f(x), la ecuación de conservación
o equilibrio tiene el siguiente aspecto:
∫∫∫Vs(x) dV + ∫∫Sf(x) dS = 0.
La integral triple está referida al volumen arbitrario V y la integral doble está referida
a la frontera S de dicho
volumen diferencial. El elemento diferencial de volumen es
dV y el elemento diferencial de
superficie es dS.
Equilibrio del campo gravitatorio en un volumen de control
arbitrario V (de color azul
claro) con frontera S (de color
azul oscuro). El campo generado por las fuentes s (las flechas de color rojo oscuro
indican cómo este campo es radiado por el interior del volumen)
es compensado por el flujo f a
través de las paredes (flechas de color verde).
La anterior ecuación es completamente inútil si no tenemos
ecuaciones constitutivas para relacionar la fuente y el flujo
con variables físicas como la distribución de masa y el campo
gravitatorio. Supondremos un modelo extremadamente
simple, tal que la fuente es proporcional a la densidad ρ(x) con la que la masa
está distribuida por el espacio:
s(x) ≡ A(x) ρ(x)
y el flujo es proporcional a la derivada del potencial gravitatorio
φ(x) en la dirección
normal n al elemento de
superficie (por fijar ideas, dirigida hacia el exterior del volumen):
f(x) ≡ B(n(x),x) n(x) ⋅ ∇φ(x).
Como no tenemos motivos para pensar que la forma en
la que se propaga la gravedad depende del lugar o de la
dirección, supondremos que el espacio es homogéneo e
isótropo, de modo que las variables de proporcionalidad
A(x) y B(n(x),x)
pasan a ser constantes independientes del punto y de la dirección. Si
reagrupamos las constantes de forma astuta, nos queda la siguiente
ecuación:
∫∫∫V4πG ρ(x) dV = ∫∫Sn(x) ⋅ ∇φ(x) dS.
La constante G es la constante de
gravitación universal; el término 4π no
está absorbido en su valor por meros motivos históricos y de comodidad
en otras expresiones (que no en ésta).
Podemos modificar la última ecuación para obtener otra un
poquito más conocida. Si aplicamos el teorema de la divergencia
para convertir la integral de superficie en una integral de volumen,
nos queda lo siguiente:
∫∫∫V4πG ρ(x) dV = ∫∫∫V∇2φ(x) dV.
En la anterior ecuación, el símbolo ∇2 es la laplaciana, es decir, la
divergencia del gradiente. Como el volumen de integración es
completamente arbitrario, obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
∇2φ(x) = 4πG ρ(x).
Se trata de la conocidísima y estudiadísima ecuación de Poisson,
una ecuación elíptica que aparece en toda clase de problemas
de equilibrio.
Todas las anteriores ecuaciones están muy bien, pero hace falta una condición de contorno razonable para que el problema de encontrar el potencial gravitatorio dada una distribución de densidad esté bien planteado. Podemos suponer que en el infinito —mucho más lejos que el volumen de interés en el que queremos obtener el campo gravitatorio— no hay masa y la aceleración gravitatoria —la magnitud que podemos medir fácilmente— desaparece. De esta manera, el valor del potencial (no sus derivadas) no aparece ni en la ecuación de campo (cualquiera de las tres últimas) ni en la condición de contorno, así que tenemos el interesante resultado de que el potencial está definido salvo por un valor constante para todo el espacio.
El campo gravitatorio debido a una masa puntual: ley de gravitación universal
Una masa puntual M situada en el
origen de coordenadas tiene una distribución de densidad en el espacio
proporcional a una δ de Dirac:
ρ(x) = M δ(x).
La distribución δ de Dirac es tal
que:
∫∫∫Vδ(x) dV = 1
si el volumen contiene el origen x = 0;
0 si no.
Introduzcamos la anterior distribución de densidad en la ecuación
de campo:
∇2φ(x) = 4πG M δ(x).
La condición de contorno es la de aceleración gravitatoria nula en
el infinito:
límx→∞−∇φ(x) = 0.
La solución del problema tiene la siguiente forma:
φ(x) = C ⁄ |x| + D.
La constante D es, como
vimos antes, arbitraria y no tiene efecto en la aceleración
gravitatoria. Nos queda por determinar la constante C. Si usamos la primera forma de la
ecuación de campo (la de la fuente y el flujo) y elegimos un volumen
con el origen en su interior, deducimos con una simple integral que
la constante C es igual a −G M, de modo que el
potencial gravitatorio adopta el siguiente aspecto:
φ(x) = −G M ⁄ |x| + D.
La solución es singular y, en principio, no podríamos calcular su laplaciana en el origen, así que hay que entender la ecuación de Poisson de una forma generalizada que se reduce a la primera forma integral de la ecuación de campo (la de la fuente y el flujo).
La aceleración gravitatoria toma la siguiente forma, ya familiar:
g(x) = −G M x ⁄ |x|3.
La fuerza de atracción F
sobre una segunda masa puntual m situada en el punto x tiene el siguiente
aspecto:
F = −G M m x ⁄ |x|3.
Hemos obtenido la ley de gravitación universal que estábamos
buscando, de lo que se deduce que la ley de conservación y las
ecuaciones constitutivas que propusimos eran correctas.
Si la masa puntual M no está en el origen, podemos calcular la solución mediante una simple traslación. La fuerza para múltiples masas y masas distribuidas es fácil de calcular y la vimos en el anterior artículo sobre este tema. De forma alternativa, podemos calcular el potencial, derivarlo para obtener la aceleración y multiplicar por la masa de la partícula atraída para obtener la fuerza. Esta segunda forma de proceder, aunque es más indirecta, puede ser más cómoda que la primera en muchas ocasiones.
Formas alternativas de llegar a la ley de gravitación universal
El presente artículo forma parte de una serie. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir la ley de gravitación universal:
- mediante un argumento sencillo de conservación y simetría;
- mediante un principio de acción (o energía potencial total) estacionaria.
Categorías: Física
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Equinoccio de marzo
2011-03-20
Hoy, a las 23:21 UTC, tendrá lugar el equinoccio de marzo. En ese momento, los dos polos de la Tierra estarán a igual distancia del Sol y la luz incidirá de igual manera en el hemisferio norte y en el hemisferio sur. Este evento astronómico marca el comienzo de la primavera en el hemisferio norte y el comienzo del otoño en el hemisferio sur.
Categorías: Fechas
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2011/03/20/equinoccio-de-marzo/
Ley de gravitación universal
2011-03-15
La ley de gravitación universal es un modelo muy útil para la predicción de la fuerza de atracción entre objetos con masa. No es el único modelo; por ejemplo, la relatividad general es otro modelo muy popular y de aplicación más general, pero extremadamente más sofisticado y costoso de utilizar.
Vamos a ver que podemos inventarnos la ley de gravitación universal mediante argumentos heurísticos sencillos sobre las propiedades que esperaríamos del campo gravitatorio. Tenemos la ventaja de saber de antemano que el modelo que vamos a deducir es muy bueno y permite realizar predicciones extremadamente acertadas de la realidad en casos tan interesantes como el movimiento de vehículos sobre la superficie terrestre, los satélites de comunicaciones y casi cualquier misión interplanetaria viable en estos momentos.
Este artículo surgía como uno aislado, pero ha pasado a formar parte de una serie sobre la ley de gravitación universal. Hay otros dos artículos que plantean formas alternativas de deducir el modelo:
- mediante ecuaciones de conservación o equilibrio para el potencial gravitatorio;
- mediante un principio de acción (o energía potencial total) estacionaria.
Deducción del modelo mediante argumentos heurísticos
Se comprueba experimentalmente que los objetos provistos de masa se atraen entre sí. La intensidad de esta atracción decae con la distancia y parece ser proporcional a las masas de los cuerpos tratados. De alguna manera, un cuerpo dotado de masa modifica el espacio y establece un campo de fuerza. Vamos a buscar un modelo razonablemente sencillo para el campo de fuerza generado por una masa concentrada en un punto —una masa puntual—:
- La fuerza gravitatoria F
a la que está sometida una masa puntual m atraída por otra masa puntual
M es proporcional a la propia masa
atraída:
F = m g,
donde g es la aceleración gravitatoria provocada por la masa M. Esta aceleración será el campo gravitatorio que estudiaremos en los siguientes puntos. - No tenemos motivos para postular la existencia de direcciones
privilegiadas. Supondremos que el campo gravitatorio se extiende con
simetría esférica con centro en la propia masa puntual y apuntando
hacia ésta. De esta manera, la magnitud del campo depende sólo de
la distancia a la masa puntual y no de si nos encontramos más al
norte, más al sur, más al este o más al oeste. Si el radio vector
de la masa puntual es r0,
el radio vector del punto en el que medimos el campo gravitatorio es
es r, la magnitud del campo es
g y el propio vector del campo es
g, tenemos la siguiente
relación:
g = −g ⋅ (r − r0) ⁄ |r − r0|. - Supondremos que la masa puntual está emitiendo o radiando el
campo gravitatorio en todo momento en todas direcciones.
Este campo se genera en la masa puntual y a partir de ahí se conserva.
Concretamente, el flujo total del campo a través de cualquier
esfera imaginaria centrada en la masa puntual ha de ser siempre el
mismo independientemente del radio de la esfera, ya que el flujo
es la cantidad total de campo que irradia la masa puntual en cada
momento. Como el flujo es proporcional
a la intensidad local g del campo
y a la superficie de la esfera S
por la que se extiende el campo, tenemos:
g ∝ 1 ⁄ S.
La superficie de la esfera es proporcional a su radio r, así que queda finalmente:
g ∝ 1 ⁄ r2. - La intensidad del campo es proporcional a la masa M:
g ∝ M.
El campo gravitatorio apunta hacia la masa puntual fuente del
campo, tiene simetría esférica y su flujo a través de cualquier esfera
imaginaria que contiene la masa puntual es constante.
Si juntamos los puntos anteriores, obtenemos la
siguiente expresión para el campo gravitatorio g medido en un punto de radio vector
r y provocado por una masa
puntual M situada en un punto de radio
vector r0:
g(r) = −G M ⋅ (r − r0) ⁄ |r − r0|3.
La constante de proporcionalidad G
es universal: es la misma en todas partes. Nótese que, aunque la
distancia a la masa puntual aparece elevada al cubo en el denominador,
también figura linealmente en el numerador, de modo que la magnitud de
la aceleración gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia.
La masa puntual M atrae a la
masa puntual m. Una fuerza de
atracción igual en magnitud y opuesta en sentido actúa sobre la
masa puntual M.
Hemos postulado el campo gravitatorio producido por una masa
puntual. ¿Qué pasa si tenemos varias masas? No tenemos motivos
para suponer una interacción entre los distintos campos
gravitatorios, así que confiaremos en que se cumplirá el principio
de superposición: el campo total es igual a la suma de los campos
individuales producidos por cada una de las masas puntuales. La
aceleración provocada es, con notación evidente:
g(r) = ∑i−G Mi ⋅ (r − ri) ⁄ |r − ri|3.
De igual manera, si la masa está distribuida en el espacio con
densidad ρ(r0),
la aceleración gravitatoria es:
g(r) = ∫[−G ρ(r0) ⋅ (r − r0) ⁄ |r − r0|3] (dr0)3.
La anterior integral está extendida por todo el volumen del
cuerpo masivo que genera el campo gravitatorio.
Principio de superposición: el campo gravitatorio total es igual
a la suma de los campos gravitatorios individuales.
La fuerza gravitatoria F
sobre una masa puntual m situada en
el punto de radio vector r
es fácil de obtener mediante cualquiera de las anteriores expresiones
para la aceleración gravitatoria:
F = m g(r).
Si en vez de tener una masa puntual tenemos un cuerpo extenso
de densidad ρ(r)
entonces la fuerza gravitatoria total a la que está sometido este
cuerpo es fácil de obtener mediante una integral:
F = ∫ρ(r) g(r) (dr)3.
La anterior integral es doble cuando el campo gravitatorio está
generado por un cuerpo extenso:
F = ∫∫[−G ρ(r) ⋅ ρ(r0) ⋅ (r − r0) ⁄ |r − r0|3] (dr)3 (dr0)3.
Suponer masas puntuales es lo bastante preciso en muchos casos
prácticos, pero no siempre. En muchos casos, es posible aproximar
las integrales mediante sumas de momentos que convergen rápidamente
y permiten ahorrar mucho tiempo de cálculo; las aproximaciones de
masas puntuales no son más que estas sumas de momentos en las que
sólo retenemos los términos de orden más bajo.
El modelo que acabamos de deducir es precisamente la ley de la gravicación universal. Además de en casos diseñados por el hombre (como las misiones espaciales), se comprueba desde hace siglos que esta ley tan sencilla se ajusta con una excelente precisión a las observaciones realizadas sobre el movimiento de los planetas; esta precisión es tan buena que hace falta estudiar situaciones especialmente patológicas (como la precesión del perihelio de Mercurio) con medidas muy finas (realizadas a partir del siglo XIX) para encontrar discrepancias. ¡La formulación de leyes físicas no siempre es tan fácil!
Formas alternativas de llegar a la ley de gravitación universal
Hay muchas otras maneras de llegar a la ley de gravitación universal. Los siguientes artículos de esta serie explican varias:
- mediante ecuaciones de conservación o equilibrio para el potencial gravitatorio;
- mediante un principio de acción (o energía potencial total) estacionaria.
Categorías: Física
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Día del Número π
2011-03-14
El 14 de marzo es el Día del Número Pi, un día fenomenal en honor de la que posiblemente es la más notablemente notable constante matemática: π, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en una geometría euclídea. Si escribimos primero el número del mes y luego el día, tenemos las tres primeras cifras de la representación decimal del número π: 3,14. En las celebraciones juega un papel importante la degustación de tartas; esto se debe a que, en inglés, π se pronuncia igual que «pie» ('tarta').
Se dice que Richard Feynman afirmó que le habría gustado
memorizar cifras de la representación decimal del número π hasta encontrar seis nueves seguidos y así
poder recitarlos hasta llegar a un punto en el que poder decir de
forma humorística, como sugiriendo que π
es racional: … nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve
y así en adelante…
No hace falta irse muy lejos para
encontrar el número nueve seis veces seguidas: basta ir a la posición
setecientos sesenta y dos, conocida como el punto de Feynman en honor
a la broma del popular físico.
Categorías: Fechas, Matemáticas
Permalink: https://sgcg.es/articulos/2011/03/14/dia-del-numero-pi/
Sobre los 110 kilómetros por hora
2011-03-03
Se ha puesto de moda discutir sobre la reducción en 10 km ⁄ h de la velocidad máxima permitida en carretera en España. El objetivo indicado inicialmente es el de reducir el consumo de combustible en una proporción algo superior al 10 %. Vamos a ver que es muy fácil calcular si este número es realista.
Combustible consumido en un viaje por un turismo típico.
Cuando un automóvil se mueve más o menos rápido, la mayor
parte de la potencia de salida del motor se va en compensar la
resistencia aerodinámica. Con muy buena aproximación, podemos
afirmar que esta potencia crece con el cubo de la rapidez aerodinámica
del vehículo y, con un nivel de aproximación algo peor, que la
potencia P total de salida del motor
también ha de crecer con el cubo de la rapidez aerodinámica V:
P ≈ k V3.
En la anterior ecuación, k es
una constante que depende de las propiedades del aire (de su densidad)
y de las características aerodinámicas del vehículo.
El consumo dC ⁄ dt de
un motor (es decir, la cantidad de combustible que quema por
unidad de tiempo) está relacionado con su potencia de salida
P mediante un coeficiente, CE, conocido como el consumo
específico:
dC ⁄ dt = CE P.
En general, el consumo específico depende de las condiciones de
trabajo. Los motores diésel mantienen el consumo específico casi
constante en un rango de regímenes muy amplio, así que el consumo
de combustible varía de forma prácticamente lineal con la potencia
de salida. El consumo específico es algo más variable en los motores
de gasolina, pero supondremos que es constante. Si combinamos esta
información con la anterior sobre la potencia de salida, podemos
relacionar el combustible consumido por unidad de tiempo con la
rapidez del vehículo cuando éste se desplaza más o menos deprisa:
dC ⁄ dt ≈ CE k V3.
Los desplazamientos son, casi siempre, de longitud fija,
no de tiempo fijo: se busca ir de un origen determinado a un
destino determinado, no permanecer cierta cantidad de tiempo en
la carretera. Si suponemos una rapidez constante, la duración
t del viaje es directamente
proporcional a la longitud l
del camino e inversamente proporcional a la rapidez V:
t = l ⁄ V.
El combustible C consumido en un
viaje será igual al gasto de combustible por unidad de tiempo dC ⁄ dt multiplicado
por el tiempo de viaje t. Con los
resultados anteriores, este consumo es:
C ≈ l CE k V2.
Hemos obtenido una relación sencilla que relaciona
el combustible consumido en un viaje con la rapidez del
desplazamiento. Podemos comparar el combustible C110 consumido a 110 km ⁄ h con el combustible
C120 consumido a
120 km ⁄ h
para un mismo viaje y un mismo vehículo:
C110 ⁄ C120 ≈ (110 ⁄ 120)2 ≈ 0,84.
Es decir, un 16 % menos tras la
reducción del límite de velocidad, un descenso en el consumo próximo
al esgrimido por el gobierno. El modelo empleado sobrevalora el
descenso en el consumo (habitualmente en torno a un tercio) al suponer
que la velocidad y el consumo específico son constantes, no hay viento
y la única fuerza a vencer es la resistencia aerodinámica —si
también modelamos la resistencia a la rodadura y usamos datos típicos
de turismos europeos, la reducción en el consumo puede quedarse en
cualquier lugar a unos pocos puntos porcentuales alrededor del 10 %. He aquí un
ensayo poco riguroso que muestra lo acertado de las estimaciones.
Entonces, ¿podemos esperar un ahorro total próximo al 10 %?. Evidentemente, no, dado que son frecuentes los desplazamientos realizados mucho más despacio. De hecho, Industria indicó recientemente que el ahorro previsto es, más bien, del 3 %.
Esta reducción en la velocidad de circulación máxima está demostrando ser algo impopular. No obstante, tenemos que recordar que, debido a la polución, nuestra atmósfera tiene cierta toxicidad indeseable. Raro es que una reducción en el consumo no venga acompañada de una reducción en la emisión de contaminantes. De igual manera, el fomento del uso de medios de transporte más eficientes (y varias medidas del paquete de la discordia se centran en esto) es bienvenido. El efecto económico, por otra parte, está por ver…
Categorías: Actualidad, Física
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